题目

8. (5.0分) 已知 A=(}0.6&0.50.1&0.3^2

8. (5.0分) 已知 $A=\left(\begin{matrix}0.6&0.5\\0.1&0.3\end{matrix}\right)$,下列等式有误的是( ).

A. $||A||_1=0.8$

B. $||A||_∞=1.1$

C. $||A||_2=\sqrt{\lambda_{max}(A^TA)}$

D. $||A||_F=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}^2$

题目解答

答案

D. $||A||_F=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}^2$

解析

本题考查矩阵范数的概念，涉及1-范数、∞-范数、2-范数和弗罗贝尼乌斯范数的定义。解题关键在于：

  1. 明确各类范数的计算方式：
    • 1-范数：矩阵列绝对和的最大值；
    • ∞-范数：矩阵行绝对和的最大值；
    • 2-范数：矩阵最大奇异值（即 $A^TA$ 的最大特征值的平方根）；
    • 弗罗贝尼乌斯范数：矩阵所有元素平方和的平方根。
  2. 逐项验证选项，重点注意选项D是否遗漏平方根。

选项A：$||A||_1=0.8$

  • 1-范数定义：取矩阵各列绝对值之和的最大值。
  • 计算：
    • 第1列：$0.6 + 0.1 = 0.7$；
    • 第2列：$0.5 + 0.3 = 0.8$；
    • 最大值为 $0.8$，正确。

选项B：$||A||_∞=1.1$

  • ∞-范数定义：取矩阵各行绝对值之和的最大值。
  • 计算：
    • 第1行：$0.6 + 0.5 = 1.1$；
    • 第2行：$0.1 + 0.3 = 0.4$；
    • 最大值为 $1.1$，正确。

选项C：$||A||_2=\sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^TA)}$

  • 2-范数定义：矩阵最大奇异值，即 $A^TA$ 的最大特征值的平方根。
  • 选项表达式符合定义，正确。

选项D：$||A||_F=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}^2$

  • 弗罗贝尼乌斯范数定义：$\sqrt{\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}^2}$。
  • 选项中缺少平方根，应为 $\sqrt{\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}^2}$，因此错误。