题目
设函数 y(x) 由参数方程 {x=t3+3t+1y=t3−3t+1 确定，则曲线 y=y(x) 向上凸的 x 取值范围为 ______.
设函数
题目解答
答案
由：
，
得：
y′＝
＝
＝
=1−
，
∴y″＝(y′)′＝
•
=
(1−
)•
＝
•
=
，
令：y″＜0，得：t＜0
又x=t 3+3t+1是单调递增的，并且当t＜0时，x＜1，
∴曲线y=y(x)向上凸的x取值范围为(-∞，1)．
|
得：
y′＝
|
||
|
| 3t2−3 |
| 3t2+3 |
| t2−1 |
| t2+1 |
| 2 |
| t2+1 |
∴y″＝(y′)′＝
| dy′ |
| dt |
| dt |
| dx |
| d |
| dt |
| 2 |
| t2+1 |
| 1 | ||
|
| 4t |
| (t2+1)2 |
| 1 |
| 3(t2+1) |
| 4t |
| 3(t2+1)3 |
令：y″＜0，得：t＜0
又x=t 3+3t+1是单调递增的，并且当t＜0时，x＜1，
∴曲线y=y(x)向上凸的x取值范围为(-∞，1)．
解析
步骤 1：求导数 y' 和 y''
由参数方程 {x=t^3+3t+1, y=t^3-3t+1}，我们首先求出 y 对 t 的导数 y' 和 x 对 t 的导数 x'，然后利用链式法则求出 y 对 x 的导数 y' 和二阶导数 y''。
步骤 2：求 y' 和 y''
y' = dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (3t^2 - 3) / (3t^2 + 3) = (t^2 - 1) / (t^2 + 1)
y'' = d(y')/dx = d(y')/dt * dt/dx = d((t^2 - 1) / (t^2 + 1))/dt * 1/(3t^2 + 3)
步骤 3：求 y'' 的表达式
y'' = (2t(t^2 + 1) - 2t(t^2 - 1)) / (t^2 + 1)^2 * 1/(3t^2 + 3) = (4t) / (3(t^2 + 1)^3)
步骤 4：确定 y'' 的符号
y'' 的符号取决于 t 的符号，因为 (t^2 + 1)^3 总是正的，所以当 t < 0 时，y'' < 0，曲线向上凸。
步骤 5：确定 x 的取值范围
当 t < 0 时，x = t^3 + 3t + 1 < 1，因此曲线向上凸的 x 取值范围为 (-∞, 1)。
由参数方程 {x=t^3+3t+1, y=t^3-3t+1}，我们首先求出 y 对 t 的导数 y' 和 x 对 t 的导数 x'，然后利用链式法则求出 y 对 x 的导数 y' 和二阶导数 y''。
步骤 2：求 y' 和 y''
y' = dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (3t^2 - 3) / (3t^2 + 3) = (t^2 - 1) / (t^2 + 1)
y'' = d(y')/dx = d(y')/dt * dt/dx = d((t^2 - 1) / (t^2 + 1))/dt * 1/(3t^2 + 3)
步骤 3：求 y'' 的表达式
y'' = (2t(t^2 + 1) - 2t(t^2 - 1)) / (t^2 + 1)^2 * 1/(3t^2 + 3) = (4t) / (3(t^2 + 1)^3)
步骤 4：确定 y'' 的符号
y'' 的符号取决于 t 的符号，因为 (t^2 + 1)^3 总是正的，所以当 t < 0 时，y'' < 0，曲线向上凸。
步骤 5：确定 x 的取值范围
当 t < 0 时，x = t^3 + 3t + 1 < 1，因此曲线向上凸的 x 取值范围为 (-∞, 1)。