设函数 y(x) 由参数方程 {x=t3+3t+1y=t3−3t+1 确定，则曲线 y=y(x) 向上凸的 x 取值范围为 ______.

考查要点：本题主要考查参数方程确定的函数的凹凸性判断，涉及一阶导数、二阶导数的计算，以及参数方程单调性的分析。

解题核心思路：

1. 求导方法：通过参数方程求导公式，计算一阶导数 $\frac{dy}{dx}$ 和二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$。
2. 凹凸性判断：根据二阶导数的符号确定曲线的凹凸性（$\frac{d^2y}{dx^2} < 0$ 时向上凸）。
3. 参数转换：结合 $x(t)$ 的单调性，将 $t$ 的范围转换为 $x$ 的范围。

破题关键点：

• 二阶导数的正确计算：注意链式法则的应用，尤其是 $\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$。
• 单调性分析：通过 $x'(t) = 3t^2 + 3 > 0$ 判断 $x(t)$ 单调递增，从而建立 $t$ 与 $x$ 的一一对应关系。

1. 求一阶导数 $\frac{dy}{dx}$

根据参数方程求导公式：
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{3t^2 - 3}{3t^2 + 3} = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}.$

2. 求二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$

对 $\frac{dy}{dx}$ 关于 $t$ 求导，再乘以 $\frac{dt}{dx}$：
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}\right) \cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}}.$
计算导数：
$\frac{d}{dt}\left(\frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}\right) = \frac{4t}{(t^2 + 1)^2},$
因此：
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4t}{(t^2 + 1)^2} \cdot \frac{1}{3(t^2 + 1)} = \frac{4t}{3(t^2 + 1)^3}.$

3. 判断凹凸性

当 $\frac{d^2y}{dx^2} < 0$ 时，曲线向上凸：
$\frac{4t}{3(t^2 + 1)^3} < 0 \implies t < 0.$

4. 转换为 $x$ 的范围

由 $x(t) = t^3 + 3t + 1$，其导数 $x'(t) = 3t^2 + 3 > 0$，故 $x(t)$ 单调递增。当 $t < 0$ 时，$x(t) < x(0) = 1$，因此 $x$ 的取值范围为 $(-\infty, 1)$。