一、填空题（共5题，20.0分）2.（填空题，4.0分）函数z=x^2cosy在点（1，(pi)/(4)）处沿从点（1，(pi)/(4)）到点（2，(pi)/(2)）的射线的方向导数为（）

为了求函数 $ z = x^2 \cos y $ 在点 $ (1, \frac{\pi}{4}) $ 处沿从点 $ (1, \frac{\pi}{4}) $ 到点 $ (2, \frac{\pi}{2}) $ 的射线的方向导数，我们需要按照以下步骤进行： 1. **计算方向向量**: 从点 $ (1, \frac{\pi}{4}) $ 到点 $ (2, \frac{\pi}{2}) $ 的向量为: \[ \mathbf{v} = \left( 2 - 1, \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = \left( 1, \frac{\pi}{4} \right) \] 2. **将方向向量单位化**: 方向向量 $ \mathbf{v} $ 的模为: \[ $\mathbf{v}$ = \sqrt{1^2 + \left( \frac{\pi}{4} \right)^2} = \sqrt{1 + \frac{\pi^2}{16}} = \sqrt{\frac{16 + \pi^2}{16}} = \frac{\sqrt{16 + \pi^2}}{4} \] 单位方向向量 $ \mathbf{u} $ 为: \[ \mathbf{u} = \left( \frac{1}{$\mathbf{v}$}, \frac{\frac{\pi}{4}}{$\mathbf{v}$} \right) = \left( \frac{4}{\sqrt{16 + \pi^2}}, \frac{\pi}{\sqrt{16 + \pi^2}} \right) \] 3. **计算梯度**: 函数 $ z = x^2 \cos y $ 的梯度 $ \nabla z $ 为: \[ \nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right) \] 其中: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x \cos y, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -x^2 \sin y \] 在点 $ (1, \frac{\pi}{4}) $ 处，梯度为: \[ \nabla z \bigg|_{(1, \frac{\pi}{4})} = \left( 2 \cdot 1 \cdot \cos \frac{\pi}{4}, -1^2 \cdot \sin \frac{\pi}{4} \right) = \left( 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \left( \sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \] 4. **计算方向导数**: 方向导数 $ D_{\mathbf{u}} z $ 为梯度与单位方向向量的点积: \[ D_{\mathbf{u}} z = \nabla z \cdot \mathbf{u} = \left( \sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \left( \frac{4}{\sqrt{16 + \pi^2}}, \frac{\pi}{\sqrt{16 + \pi^2}} \right) = \sqrt{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{16 + \pi^2}} + \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \frac{\pi}{\sqrt{16 + \pi^2}} \] \[ D_{\mathbf{u}} z = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{16 + \pi^2}} - \frac{\pi \sqrt{2}}{2\sqrt{16 + \pi^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{16 + \pi^2}} \left( 4 - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{16 + \pi^2}} \cdot \frac{8 - \pi}{2} = \frac{\sqrt{2} (8 - \pi)}{2\sqrt{16 + \pi^2}} \] 因此，函数 $ z = x^2 \cos y $ 在点 $ (1, \frac{\pi}{4}) $ 处沿从点 $ (1, \frac{\pi}{4}) $ 到点 $ (2, \frac{\pi}{2}) $ 的射线的方向导数为: \[ \boxed{\frac{\sqrt{2}(8 - \pi)}{2\sqrt{16 + \pi^2}}} \]