3.一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球，在其中任取4只球.以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.

为了求出 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律，我们需要确定对于 $X$ 和 $Y$ 的所有可能值，取到 $X$ 只黑球和 $Y$ 只红球的概率。$X$ 的可能值为 0, 1, 2, 3，而 $Y$ 的可能值为 0, 1, 2。由于我们总共取4只球，取到的白球数量为 $4 - X - Y$，这个值必须在 0 和 2 之间（因为只有2只白球）。 总共有 $\binom{7}{4} = 35$ 种方式从7只球中取4只球。我们将计算每对 $(X, Y)$ 的概率。 1. **对于 $X = 0$:** - $Y = 0$: 需要取4只白球，但只有2只白球，所以 $P(X = 0, Y = 0) = 0$。 - $Y = 1$: 需要取1只红球和3只白球，但只有2只白球，所以 $P(X = 0, Y = 1) = 0$。 - $Y = 2$: 需要取2只红球和2只白球。方式数为 $\binom{3}{0}\binom{2}{2}\binom{2}{2} = 1$。概率为 $P(X = 0, Y = 2) = \frac{1}{35}$。 2. **对于 $X = 1$:** - $Y = 0$: 需要取1只黑球和3只白球，但只有2只白球，所以 $P(X = 1, Y = 0) = 0$。 - $Y = 1$: 需要取1只黑球，1只红球和2只白球。方式数为 $\binom{3}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{2} = 6$。概率为 $P(X = 1, Y = 1) = \frac{6}{35}$。 - $Y = 2$: 需要取1只黑球，2只红球和1只白球。方式数为 $\binom{3}{1}\binom{2}{2}\binom{2}{1} = 6$。概率为 $P(X = 1, Y = 2) = \frac{6}{35}$。 3. **对于 $X = 2$:** - $Y = 0$: 需要取2只黑球和2只白球。方式数为 $\binom{3}{2}\binom{2}{0}\binom{2}{2} = 3$。概率为 $P(X = 2, Y = 0) = \frac{3}{35}$。 - $Y = 1$: 需要取2只黑球，1只红球和1只白球。方式数为 $\binom{3}{2}\binom{2}{1}\binom{2}{1} = 12$。概率为 $P(X = 2, Y = 1) = \frac{12}{35}$。 - $Y = 2$: 需要取2只黑球，2只红球和0只白球。方式数为 $\binom{3}{2}\binom{2}{2}\binom{2}{0} = 3$。概率为 $P(X = 2, Y = 2) = \frac{3}{35}$。 4. **对于 $X = 3$:** - $Y = 0$: 需要取3只黑球和1只白球。方式数为 $\binom{3}{3}\binom{2}{0}\binom{2}{1} = 2$。概率为 $P(X = 3, Y = 0) = \frac{2}{35}$。 - $Y = 1$: 需要取3只黑球，1只红球和0只白球。方式数为 $\binom{3}{3}\binom{2}{1}\binom{2}{0} = 2$。概率为 $P(X = 3, Y = 1) = \frac{2}{35}$。 - $Y = 2$: 需要取3只黑球，2只红球和-1只白球，这是不可能的，所以 $P(X = 3, Y = 2) = 0$。 将所有这些概率汇总，我们得到 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律： \[ \begin{array}{c|ccc} & Y=0 & Y=1 & Y=2 \\ \hline X=0 & 0 & 0 & \frac{1}{35} \\ X=1 & 0 & \frac{6}{35} & \frac{6}{35} \\ X=2 & \frac{3}{35} & \frac{12}{35} & \frac{3}{35} \\ X=3 & \frac{2}{35} & \frac{2}{35} & 0 \\ \end{array} \] 因此，最终答案是： \[ \boxed{ \begin{array}{c|ccc} & Y=0 & Y=1 & Y=2 \\ \hline X=0 & 0 & 0 & \frac{1}{35} \\ X=1 & 0 & \frac{6}{35} & \frac{6}{35} \\ X=2 & \frac{3}{35} & \frac{12}{35} & \frac{3}{35} \\ X=3 & \frac{2}{35} & \frac{2}{35} & 0 \\ \end{array} } \]