设对任意的x,总有 varphi (x)leqslant f(x)leqslant g(x) ,且 lim [ g(x)-varphi (x)] =0 ,则 lim _(xarrow infty )f(x) () .-|||-(A)存在且一定等于零 (B)存在但不一定为零-|||-(C)一定不存在 (D)不一定存在

考查要点：本题主要考查极限存在性的判定，特别是对夹逼定理（夹挤定理）的深入理解，以及如何通过构造反例分析极限的存在性。

解题核心思路：
题目给出两个函数$\varphi(x)$和$g(x)$满足$\varphi(x) \leq f(x) \leq g(x)$，且$\lim_{x \to \infty} [g(x) - \varphi(x)] = 0$。需要判断$\lim_{x \to \infty} f(x)$是否存在。
关键点在于：

1. 夹逼定理的条件要求$\lim \varphi(x) = \lim g(x) = L$，此时$\lim f(x) = L$。但本题中仅给出$g(x) - \varphi(x)$的极限为0，并未保证$\varphi(x)$和$g(x)$本身的极限存在。
2. 构造反例：通过具体例子说明当$\varphi(x)$和$g(x)$的差趋近于0时，$\lim f(x)$可能存在也可能不存在，从而推翻其他选项。

选项分析

• 选项A（存在且等于零）：错误。反例中存在$\lim f(x)$不存在的情况（如$f(x) = x + e^{-|x|}$）。
• 选项B（存在但不一定为零）：错误。反例中存在$\lim f(x)$不存在的情况。
• 选项C（一定不存在）：错误。反例中存在$\lim f(x) = 0$的情况（如$f(x) = e^{-|x|}$）。
• 选项D（不一定存在）：正确。通过不同构造的$f(x)$，可使$\lim f(x)$存在或不存在。

关键结论

• $\lim [g(x) - \varphi(x)] = 0$仅说明两函数“无限接近”，但无法保证它们的极限存在。
• $f(x)$的极限依赖于$\varphi(x)$和$g(x)$本身的收敛性。若$\varphi(x)$和$g(x)$无极限，则$f(x)$也可能无极限。