题目

已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组（　　）A. α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关B. α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性无关C. α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关D. α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1线性无关

已知向量组α 1，α 2，α 3，α 4线性无关，则向量组（　　）
A. α 1+α 2，α 2+α 3，α 3+α 4，α 4+α 1线性无关
B. α 1-α 2，α 2-α 3，α 3-α 4，α 4-α 1线性无关
C. α 1+α 2，α 2+α 3，α 3+α 4，α 4-α 1线性无关
D. α 1+α 2，α 2+α 3，α 3-α 4，α 4-α 1线性无关

题目解答

答案

①对于选项 A:

∵(α1+α2)+(α3+α4)=(α2+α3)+(α4+α1) ，

∴α1+α2 ， α2+α3 ， α3+α4 ， α4+α1 线性相关。

∴ 选项 (A) 不正确；

②对于选项 B:

∵(α1−α2)+(α2−α3)=−(α3−α4)−(α4−α1) ，

∴α1−α2 ， α2−α3 ， α3−α4 ， α4−α1 线性相关。

∴ 选项 (B) 不正确；

③对于选项 D:

∵(α1+α2)−(α2+α3)=−(α3−α4)−(α4−α1) ，

∴α1+α2 ， α2+α3 ， α3−α4 ， α4−α1 线性相关。

∴ 选项 (D) 不正确；

④对于选项 C:

令 k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4−α1)=0

∴(k1−k4)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4=0

∵ 向量组 α1 ， α2 ， α3 ， α4 线性无关

∴⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪k1−k4=0k1+k2=0k2+k3=0k3+k4=0

∴k1=k2=k3=k4=0

∴ 选项 (C) 正确

故选： C

解析

考查要点：本题主要考查向量组的线性相关性判断，特别是通过构造线性组合方程，分析系数矩阵的解空间来确定向量组的线性相关性。

解题核心思路：

  1. 线性相关性的定义：若存在不全为零的系数，使得向量组的线性组合为零向量，则向量组线性相关。
  2. 关键方法：对每个选项构造齐次方程，通过解方程组判断是否存在非零解。若只有零解，则向量组线性无关；否则相关。
  3. 破题关键：通过观察向量组的结构，寻找可能的线性组合关系，或直接通过系数矩阵的秩判断解的唯一性。

选项分析

选项A

构造方程：
$(\alpha_1 + \alpha_2) + (\alpha_3 + \alpha_4) = (\alpha_2 + \alpha_3) + (\alpha_4 + \alpha_1)$
等式两边相等，说明存在非零系数（如全取1）使线性组合为零，因此向量组线性相关，选项A错误。

选项B

构造方程：
$(\alpha_1 - \alpha_2) + (\alpha_2 - \alpha_3) = -(\alpha_3 - \alpha_4) - (\alpha_4 - \alpha_1)$
等式成立，说明存在非零系数使线性组合为零，因此向量组线性相关，选项B错误。

选项D

构造方程：
$(\alpha_1 + \alpha_2) - (\alpha_2 + \alpha_3) = -(\alpha_3 - \alpha_4) - (\alpha_4 - \alpha_1)$
等式成立，说明存在非零系数使线性组合为零，因此向量组线性相关，选项D错误。

选项C

构造齐次方程：
$k_1(\alpha_1 + \alpha_2) + k_2(\alpha_2 + \alpha_3) + k_3(\alpha_3 + \alpha_4) + k_4(\alpha_4 - \alpha_1) = 0$
整理得：
$(k_1 - k_4)\alpha_1 + (k_1 + k_2)\alpha_2 + (k_2 + k_3)\alpha_3 + (k_3 + k_4)\alpha_4 = 0$
由于$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$线性无关，系数矩阵为：
$\begin{cases}k_1 - k_4 = 0 \\k_1 + k_2 = 0 \\k_2 + k_3 = 0 \\k_3 + k_4 = 0\end{cases}$
解得唯一解$k_1 = k_2 = k_3 = k_4 = 0$，因此向量组线性无关，选项C正确。