解答题:-|||-函数 f(x)= { ,xgt 0, ax+b,xleqslant 0 . 在 x=0 处可导,试求常数a,b.

步骤 1：求解 $f(0^{+})$
根据函数定义，当 $x > 0$ 时，$f(x) = \dfrac{\ln(1-4x^2)}{x}$。为了求出 $f(0^{+})$，我们需要计算当 $x$ 趋近于 $0^{+}$ 时，$f(x)$ 的极限值。
$$f(0^{+}) = \lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{\ln(1-4x^2)}{x}$$
利用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到：
$$f(0^{+}) = \lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{-8x}{1-4x^2} = 0$$
步骤 2：求解 $f(0^{-})$
根据函数定义，当 $x \leq 0$ 时，$f(x) = ax + b$。为了求出 $f(0^{-})$，我们需要计算当 $x$ 趋近于 $0^{-}$ 时，$f(x)$ 的极限值。
$$f(0^{-}) = \lim_{x \to 0^{-}} (ax + b) = b$$
步骤 3：确定 $b$ 的值
由于函数在 $x=0$ 处可导，因此函数在该点连续，即 $f(0^{+}) = f(0^{-})$。根据步骤 1 和步骤 2 的结果，我们得到：
$$0 = b$$
步骤 4：求解 $f'(0)$
为了求出 $f'(0)$，我们需要分别计算 $f(x)$ 在 $x=0^{+}$ 和 $x=0^{-}$ 时的导数值。
$$f'(0^{+}) = \lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{\ln(1-4x^2)}{x^2} = -4$$
$$f'(0^{-}) = \lim_{x \to 0^{-}} \dfrac{ax + b - b}{x} = a$$
由于函数在 $x=0$ 处可导，因此 $f'(0^{+}) = f'(0^{-})$。根据步骤 4 的结果，我们得到：
$$-4 = a$$