解答题:-|||-函数 f(x)= { ,xgt 0, ax+b,xleqslant 0 . 在 x=0 处可导,试求常数a,b.

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的可导性条件，涉及函数连续性和导数定义的应用。

解题核心思路：

1. 函数可导必连续，因此首先需保证函数在$x=0$处连续，即左右极限相等且等于$f(0)$。
2. 计算左右导数并令其相等，从而确定参数$a$和$b$的值。

破题关键点：

• 连续性条件：通过计算$x \to 0^+$和$x \to 0^-$的极限，确定$b$的值。
• 可导性条件：分别计算左右导数，通过极限运算确定$a$的值。

步骤1：验证连续性

当$x \to 0^+$时，函数值为：
$f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1-4x^2)}{x}$
利用等价无穷小$\ln(1-4x^2) \sim -4x^2$（当$x \to 0$时），得：
$f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{-4x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} (-4x) = 0$

当$x \to 0^-$时，函数值为：
$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (ax + b) = b$

连续性条件要求$f(0^+) = f(0^-) = f(0)$，因此：
$b = 0$

步骤2：计算左右导数

右导数（$x \to 0^+$）：
$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1-4x^2)}{x^2}$
再次利用等价无穷小$\ln(1-4x^2) \sim -4x^2$，得：
$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{-4x^2}{x^2} = -4$

左导数（$x \to 0^-$）：
$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{ax + b - b}{x} = \lim_{x \to 0^-} a = a$

可导性条件要求$f'(0^+) = f'(0^-)$，因此：
$a = -4$