题目
求解下列非齐次线性方程组:(1) ) 4(x)_(1)+2(x)_(2)-(x)_(3)=2 3(x)_(1)-1(x)_(2)+2(x)_(3)=10 11(x)_(1)+3(x)_(2)=8 .
求解下列非齐次线性方程组:
(1) 
题目解答
答案
解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B
~
于是R(A)2 而R(B)3 故方程组无解
(2)
解 对增广矩阵B进行初等行变换 有:
B~
于是 
即通解为: (k为任意常数)
解析
步骤 1：写出增广矩阵
将给定的非齐次线性方程组写成增广矩阵的形式，即：
$$
B = \left[\begin{array}{ccc|c}
4 & 2 & -1 & 2 \\
3 & -1 & 2 & 10 \\
11 & 3 & 0 & 8
\end{array}\right]
$$
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵B进行初等行变换，以化简矩阵。首先，将第一行乘以适当的系数，使得第一列的其他元素变为0。然后，继续对第二行和第三行进行类似的变换，以简化矩阵。具体步骤如下：
$$
B = \left[\begin{array}{ccc|c}
4 & 2 & -1 & 2 \\
3 & -1 & 2 & 10 \\
11 & 3 & 0 & 8
\end{array}\right]
$$
$$
\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0.5 & -0.25 & 0.5 \\
0 & -2.5 & 2.75 & 8.5 \\
0 & -2 & 2.75 & 3.25
\end{array}\right]
$$
$$
\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0.5 & -0.25 & 0.5 \\
0 & 1 & -1.1 & -3.4 \\
0 & 0 & 0 & -6
\end{array}\right]
$$
步骤 3：分析矩阵的秩
观察变换后的矩阵，可以发现矩阵的秩R(A)为2，而增广矩阵的秩R(B)为3。由于R(A)不等于R(B)，所以方程组无解。
将给定的非齐次线性方程组写成增广矩阵的形式，即：
$$
B = \left[\begin{array}{ccc|c}
4 & 2 & -1 & 2 \\
3 & -1 & 2 & 10 \\
11 & 3 & 0 & 8
\end{array}\right]
$$
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵B进行初等行变换，以化简矩阵。首先，将第一行乘以适当的系数，使得第一列的其他元素变为0。然后，继续对第二行和第三行进行类似的变换，以简化矩阵。具体步骤如下：
$$
B = \left[\begin{array}{ccc|c}
4 & 2 & -1 & 2 \\
3 & -1 & 2 & 10 \\
11 & 3 & 0 & 8
\end{array}\right]
$$
$$
\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0.5 & -0.25 & 0.5 \\
0 & -2.5 & 2.75 & 8.5 \\
0 & -2 & 2.75 & 3.25
\end{array}\right]
$$
$$
\sim \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0.5 & -0.25 & 0.5 \\
0 & 1 & -1.1 & -3.4 \\
0 & 0 & 0 & -6
\end{array}\right]
$$
步骤 3：分析矩阵的秩
观察变换后的矩阵，可以发现矩阵的秩R(A)为2，而增广矩阵的秩R(B)为3。由于R(A)不等于R(B)，所以方程组无解。