题目
1. 下题中给出了四个结论，从中选一个正确的结论： 在下列微分方程中，以y = C_1 e^-x + C_2 cos x + C_3 sin x (C_1, C_2, C_3 为任意常数)为通解的常系数齐次线性微分方程是（）。 (A.) y''' + y'' - y' - y = 0 (B.) y''' + y'' + y' + y = 0 (C.) y''' - y'' - y' - y = 0 (D.) y''' - y'' - y' - y = 0
1. 下题中给出了四个结论，从中选一个正确的结论： 在下列微分方程中，以$y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos x + C_3 \sin x (C_1, C_2, C_3$ 为任意常数)为通解的常系数齐次线性微分方程是（）。 (
A.) y''' + y'' - y' - y = 0 (
B.) y''' + y'' + y' + y = 0 (
C.) y''' - y'' - y' - y = 0 (
D.) y''' - y'' - y' - y = 0
A.) y''' + y'' - y' - y = 0 (
B.) y''' + y'' + y' + y = 0 (
C.) y''' - y'' - y' - y = 0 (
D.) y''' - y'' - y' - y = 0
题目解答
答案
通解 $ y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos x + C_3 \sin x $ 对应特征根 $ r_1 = -1 $，$ r_2 = i $，$ r_3 = -i $。特征方程为：
\[
(r + 1)(r^2 + 1) = r^3 + r^2 + r + 1 = 0
\]
对应微分方程为：
\[
y''' + y'' + y' + y = 0
\]
与选项匹配，答案为：
\[
\boxed{B}
\]
解析
步骤 1：确定特征根
根据通解 $y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos x + C_3 \sin x$，可以确定特征根为 $r_1 = -1$，$r_2 = i$，$r_3 = -i$。
步骤 2：构造特征方程
根据特征根，构造特征方程：$(r + 1)(r^2 + 1) = 0$。
步骤 3：展开特征方程
展开特征方程：$(r + 1)(r^2 + 1) = r^3 + r^2 + r + 1 = 0$。
步骤 4：确定对应的微分方程
根据特征方程，对应的微分方程为：$y''' + y'' + y' + y = 0$。
根据通解 $y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos x + C_3 \sin x$，可以确定特征根为 $r_1 = -1$，$r_2 = i$，$r_3 = -i$。
步骤 2：构造特征方程
根据特征根，构造特征方程：$(r + 1)(r^2 + 1) = 0$。
步骤 3：展开特征方程
展开特征方程：$(r + 1)(r^2 + 1) = r^3 + r^2 + r + 1 = 0$。
步骤 4：确定对应的微分方程
根据特征方程，对应的微分方程为：$y''' + y'' + y' + y = 0$。