21 单选 (4分)d ()-|||-( )=dfrac (2t)(1+{t)^4}dt-|||-A. arctan dfrac ({t)^2}(2)-|||-B. arctan(2t^2)-|||-C. arctan(2t)-|||-D.arctant^2

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是通过代换法将积分转化为标准形式的能力，以及对反正切函数导数公式的应用。

解题核心思路：
观察积分形式 $\int \frac{2t}{1+t^4} dt$，发现分子 $2t$ 是分母 $t^4$ 的导数的变形。通过令 $u = t^2$ 进行代换，将原积分转化为 $\int \frac{1}{1+u^2} du$，从而直接利用反正切函数的积分公式求解。

破题关键点：

1. 识别代换变量：选择 $u = t^2$，使得 $du = 2t dt$，与分子 $2t dt$ 完美匹配。
2. 简化积分形式：代换后分母变为 $1 + u^2$，对应标准积分 $\int \frac{1}{1+u^2} du = \arctan u + C$。
3. 反代换回原变量：最终结果需用 $t$ 表示，即 $\arctan(t^2) + C$，对应选项 D。

步骤 1：选择代换变量
令 $u = t^2$，则 $du = 2t dt$，即 $2t dt = du$。

步骤 2：代换积分表达式
原积分变为：
$\int \frac{2t}{1+t^4} dt = \int \frac{du}{1+u^2}.$

步骤 3：计算简化后的积分
根据标准积分公式 $\int \frac{1}{1+u^2} du = \arctan u + C$，得：
$\int \frac{du}{1+u^2} = \arctan u + C.$

步骤 4：反代换回原变量
将 $u = t^2$ 代回，得到原函数：
$\arctan(t^2) + C.$

选项匹配：
选项 D 为 $\arctan t^2$，与计算结果一致。