四阶行列式中包含 a_(22)a_(43) 且带正号的项是 _____________.

我们来解这道题：
题目：四阶行列式中包含 $a_{22}a_{43}$ 且带正号的项是 _________。

第一步：回顾四阶行列式的定义

四阶行列式的一般项为：

$\text{项} = \text{符号} \cdot a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}a_{4j_4}$

其中，$(j_1, j_2, j_3, j_4)$ 是 $1,2,3,4$ 的一个排列，
符号由排列 $(j_1, j_2, j_3, j_4)$ 的逆序数决定：
若逆序数为偶数，则符号为正；若为奇数，则符号为负。

也可以从行标和列标的排列来考虑：
一般项是 $ \pm a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}a_{i_3j_3}a_{i_4j_4} $，其中行标 $i_1,i_2,i_3,i_4$ 是 $1,2,3,4$ 的排列，列标 $j_1,j_2,j_3,j_4$ 也是排列。
通常我们按行标从小到大排列（即 $i_k = k$），所以一般项写作：

$\text{sgn}(j_1,j_2,j_3,j_4) \cdot a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}a_{4j_4}$

第二步：题目要求包含 $a_{22}a_{43}$

这意味着在该项中：

• 第2行取第2列：$a_{22}$ → 所以 $j_2 = 2$
• 第4行取第3列：$a_{43}$ → 所以 $j_4 = 3$

而整个项是四元乘积：$a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}a_{4j_4}$，其中 $j_1,j_2,j_3,j_4$ 是 $1,2,3,4$ 的一个排列。

已知：

• $j_2 = 2$
• $j_4 = 3$

所以剩下的两个列标 $j_1$ 和 $j_3$ 必须从剩下的数字中选。

当前已用列号：2 和 3 → 剩下的是 1 和 4。

所以 $j_1$ 和 $j_3$ 只能是 1 和 4 的某种排列。

即有两种可能：

1. $j_1 = 1, j_3 = 4$ → 排列为 $(j_1,j_2,j_3,j_4) = (1,2,4,3)$
2. $j_1 = 4, j_3 = 1$ → 排列为 $(4,2,1,3)$

我们分别计算这两个排列的逆序数，判断哪一项带正号。

第三步：计算两种情况的逆序数

情况1：排列 $(1,2,4,3)$

我们计算这个列标排列的逆序数。

从左到右看每个数后面比它小的数的个数：

• 1：后面有 2,4,3，都比1大 → 0个
• 2：后面有 4,3，都比2大 → 0个
• 4：后面有 3，比4小 → 1个
• 3：后面无 → 0个

逆序数 = 1 → 奇数 → 符号为负 ❌

情况2：排列 $(4,2,1,3)$

计算逆序数：

• 4：后面有 2,1,3，都比4小 → 3个
• 2：后面有 1,3 → 比2小的有1 → 1个
• 1：后面有 3，比1大 → 0个
• 3：后面无 → 0个

逆序数 = 3 + 1 = 4 → 偶数 → 符号为正 ✅

第四步：写出该项

对应排列 $(j_1,j_2,j_3,j_4) = (4,2,1,3)$

所以项为：

$a_{14}a_{22}a_{31}a_{43}$

符号为正。

而且它包含 $a_{22}$ 和 $a_{43}$，符合题意。

第五步：确认这是唯一可能的正号项

我们前面分析只有两种可能的排列，其中只有一种（$(4,2,1,3)$）逆序数为偶，符号为正。

所以这是唯一满足条件的项。

✅ 最终答案：

$\boxed{a_{14}a_{22}a_{31}a_{43}}$