题目
设D是由x轴、y轴与直线 x + y = 1所围成,比较 I_(1) = iint limits _(D) (x + y)^2, d delta , I_(2) = iint limits _(D) (x + y)^3, d delta () A. I_(1)le I_(2) B. I_(1)ge I_(2) C. I_(1) = I_(2) D. 无法比较
$$ 设D是由x轴、y轴与直线 $x + y = 1$所围成,比较 $I_{1}\ \ = \iint \limits _{D}\ \ (x + y)^{2}\, d \delta $, $I_{2}\ \ = \iint \limits _{D}\ \ (x + y)^{3}\, d \delta $() $$
- A. $$ $I_{1}\le I_{2}$ $$
- B. $$ $I_{1}\ge I_{2}$ $$
- C. $$ $I_{1}\ \ = I_{2}$ $$
- D. 无法比较
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域D是由x轴、y轴与直线$x + y = 1$所围成的三角形区域。因此，积分区域D可以表示为$0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq 1 - x$。
步骤 2：计算$I_{1}$
$I_{1} = \iint \limits _{D}\ (x + y)^{2}\, d \delta = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} (x + y)^{2}\, dy\, dx$。
计算内层积分，得到$\int_{0}^{1-x} (x + y)^{2}\, dy = \frac{1}{3}(x + y)^{3}\bigg|_{0}^{1-x} = \frac{1}{3}(1)^{3} - \frac{1}{3}(x)^{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}x^{3}$。
计算外层积分，得到$\int_{0}^{1} \frac{1}{3} - \frac{1}{3}x^{3}\, dx = \frac{1}{3}x - \frac{1}{12}x^{4}\bigg|_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$。
步骤 3：计算$I_{2}$
$I_{2} = \iint \limits _{D}\ (x + y)^{3}\, d \delta = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} (x + y)^{3}\, dy\, dx$。
计算内层积分，得到$\int_{0}^{1-x} (x + y)^{3}\, dy = \frac{1}{4}(x + y)^{4}\bigg|_{0}^{1-x} = \frac{1}{4}(1)^{4} - \frac{1}{4}(x)^{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}x^{4}$。
计算外层积分，得到$\int_{0}^{1} \frac{1}{4} - \frac{1}{4}x^{4}\, dx = \frac{1}{4}x - \frac{1}{20}x^{5}\bigg|_{0}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{1}{5}$。
步骤 4：比较$I_{1}$和$I_{2}$
由于$\frac{1}{4} > \frac{1}{5}$，所以$I_{1} > I_{2}$。
积分区域D是由x轴、y轴与直线$x + y = 1$所围成的三角形区域。因此，积分区域D可以表示为$0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq 1 - x$。
步骤 2：计算$I_{1}$
$I_{1} = \iint \limits _{D}\ (x + y)^{2}\, d \delta = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} (x + y)^{2}\, dy\, dx$。
计算内层积分，得到$\int_{0}^{1-x} (x + y)^{2}\, dy = \frac{1}{3}(x + y)^{3}\bigg|_{0}^{1-x} = \frac{1}{3}(1)^{3} - \frac{1}{3}(x)^{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}x^{3}$。
计算外层积分，得到$\int_{0}^{1} \frac{1}{3} - \frac{1}{3}x^{3}\, dx = \frac{1}{3}x - \frac{1}{12}x^{4}\bigg|_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$。
步骤 3：计算$I_{2}$
$I_{2} = \iint \limits _{D}\ (x + y)^{3}\, d \delta = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} (x + y)^{3}\, dy\, dx$。
计算内层积分，得到$\int_{0}^{1-x} (x + y)^{3}\, dy = \frac{1}{4}(x + y)^{4}\bigg|_{0}^{1-x} = \frac{1}{4}(1)^{4} - \frac{1}{4}(x)^{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}x^{4}$。
计算外层积分，得到$\int_{0}^{1} \frac{1}{4} - \frac{1}{4}x^{4}\, dx = \frac{1}{4}x - \frac{1}{20}x^{5}\bigg|_{0}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{1}{5}$。
步骤 4：比较$I_{1}$和$I_{2}$
由于$\frac{1}{4} > \frac{1}{5}$，所以$I_{1} > I_{2}$。