lim _(xarrow 0)((cos x))^dfrac (1{ln (1+{x)^2)}}.

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理形如$1^\infty$型不定式极限的技巧。需要掌握泰勒展开、等价无穷小替换以及自然对数转换等核心方法。

解题思路：

1. 识别极限类型：当$x \to 0$时，$\cos x \to 1$，$\ln(1+x^2) \to 0$，因此原式属于$1^\infty$型不定式极限。
2. 对数转换：将原式转化为指数函数形式，利用$\lim_{x \to 0} a(x)^{b(x)} = e^{\lim_{x \to 0} b(x) \cdot \ln a(x)}$。
3. 泰勒展开：对$\cos x$和$\ln(1+x^2)$进行泰勒展开，简化表达式。
4. 计算极限：通过等价无穷小替换或直接展开计算最终结果。

步骤1：对数转换
设原式为$L = \lim_{x \to 0} (\cos x)^{\ln(1+x^2)}$，取自然对数得：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \ln(\cos x) \cdot \ln(1+x^2).$

步骤2：泰勒展开

• $\cos x$的泰勒展开：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，因此$\ln(\cos x) \approx \ln\left(1 - \frac{x^2}{2}\right) \approx -\frac{x^2}{2}$。
• $\ln(1+x^2)$的泰勒展开：$\ln(1+x^2) \approx x^2 - \frac{x^4}{2} + o(x^4) \approx x^2$。

步骤3：代入展开式
将展开式代入$\ln L$：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{x^2}{2}\right) \cdot x^2 = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{x^4}{2}\right) = 0.$

步骤4：求原式极限
由$\ln L = 0$得：
$L = e^0 = 1.$