(5) 已知极限 lim _(xarrow 0)dfrac (1-cos 2x)(sqrt {1+a{x)^2}-1}=2 ,则 a= __

考查要点：本题主要考查利用等价无穷小替换求解极限的能力，以及对常见无穷小替换公式的掌握。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，分子$1 - \cos 2x$和分母$\sqrt{1 + a x^2} - 1$均趋近于$0$，属于“$0/0$”型不定式。此时，通过等价无穷小替换简化分子和分母，将原极限转化为关于$a$的方程求解。

破题关键点：

1. 分子替换：利用$1 - \cos \theta \sim \dfrac{\theta^2}{2}$（当$\theta \rightarrow 0$），将$1 - \cos 2x$替换为$2x^2$。
2. 分母替换：利用$\sqrt{1 + t} - 1 \sim \dfrac{t}{2}$（当$t \rightarrow 0$），将$\sqrt{1 + a x^2} - 1$替换为$\dfrac{a x^2}{2}$。
3. 建立方程：将替换后的分子分母代入原式，令极限值等于$2$，解出$a$。

步骤1：分子等价无穷小替换

当$x \rightarrow 0$时，$1 - \cos 2x \sim \dfrac{(2x)^2}{2} = 2x^2$。

步骤2：分母等价无穷小替换

当$x \rightarrow 0$时，$\sqrt{1 + a x^2} - 1 \sim \dfrac{a x^2}{2}$。

步骤3：代入原式并化简

原极限变为：
$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{2x^2}{\dfrac{a x^2}{2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{2x^2 \cdot 2}{a x^2} = \dfrac{4}{a}.$

步骤4：根据极限值求解$a$

由题意$\dfrac{4}{a} = 2$，解得$a = 2$。