题目
21.(2021.18 数二)计算二重积分iintlimits_(D)(x+2y)dxdy，其中积分区域D是由直线y=x，y=4x与曲线xy=1所围成的在第一象限内的闭区域.
21.(2021.18 数二)计算二重积分$\iint\limits_{D}(x+2y)dxdy$，
其中积分区域D是由直线y=x，y=4x与曲线xy=1所围成的在第一象限内的闭区域.
题目解答
答案
将积分区域 $D$ 表示为：
\[
D = \left\{ (x,y) \mid x \leq y \leq 4x, \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \right\}
\]
计算二重积分：
\[
\iint\limits_{D}(x+2y)dxdy = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \int_{x}^{4x} (x+2y) \, dy \, dx
\]
内积分：
\[
\int_{x}^{4x} (x+2y) \, dy = 3x^2 + 15x^2 = 18x^2
\]
外积分：
\[
\int_{\frac{1}{2}}^{1} 18x^2 \, dx = 6 \left( 1 - \frac{1}{8} \right) = \frac{21}{4}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{21}{4}}$
解析
步骤 1：确定积分区域 $D$
积分区域 $D$ 由直线 $y=x$，$y=4x$ 与曲线 $xy=1$ 所围成，且位于第一象限内。首先，找出这些曲线的交点，以确定积分区域的边界。
- 直线 $y=x$ 与曲线 $xy=1$ 的交点为 $(1,1)$。
- 直线 $y=4x$ 与曲线 $xy=1$ 的交点为 $(\frac{1}{2},2)$。
- 直线 $y=x$ 与 $y=4x$ 的交点为 $(0,0)$，但不在第一象限内，因此不考虑。
步骤 2：表示积分区域 $D$
根据上述交点，积分区域 $D$ 可以表示为：\[ D = \left\{ (x,y) \mid x \leq y \leq 4x, \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \right\} \]
步骤 3：计算二重积分
根据积分区域 $D$，计算二重积分 $\iint\limits_{D}(x+2y)dxdy$。
- 内积分：\[ \int_{x}^{4x} (x+2y) \, dy = \left[ xy + y^2 \right]_{x}^{4x} = (4x^2 + 16x^2) - (x^2 + x^2) = 18x^2 \]
- 外积分：\[ \int_{\frac{1}{2}}^{1} 18x^2 \, dx = 6x^3 \Big|_{\frac{1}{2}}^{1} = 6(1 - \frac{1}{8}) = 6 \times \frac{7}{8} = \frac{21}{4} \]
积分区域 $D$ 由直线 $y=x$，$y=4x$ 与曲线 $xy=1$ 所围成，且位于第一象限内。首先，找出这些曲线的交点，以确定积分区域的边界。
- 直线 $y=x$ 与曲线 $xy=1$ 的交点为 $(1,1)$。
- 直线 $y=4x$ 与曲线 $xy=1$ 的交点为 $(\frac{1}{2},2)$。
- 直线 $y=x$ 与 $y=4x$ 的交点为 $(0,0)$，但不在第一象限内，因此不考虑。
步骤 2：表示积分区域 $D$
根据上述交点，积分区域 $D$ 可以表示为：\[ D = \left\{ (x,y) \mid x \leq y \leq 4x, \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \right\} \]
步骤 3：计算二重积分
根据积分区域 $D$，计算二重积分 $\iint\limits_{D}(x+2y)dxdy$。
- 内积分：\[ \int_{x}^{4x} (x+2y) \, dy = \left[ xy + y^2 \right]_{x}^{4x} = (4x^2 + 16x^2) - (x^2 + x^2) = 18x^2 \]
- 外积分：\[ \int_{\frac{1}{2}}^{1} 18x^2 \, dx = 6x^3 \Big|_{\frac{1}{2}}^{1} = 6(1 - \frac{1}{8}) = 6 \times \frac{7}{8} = \frac{21}{4} \]