题目

12.(单选题，8.4分)设f(z)=z^3+8iz+4i,则f^prime(1-i)=（）A.（A）-2i;B.（B）2i;C.（C）-2;D.（D）2.

12.(单选题，8.4分) 设$f(z)=z^{3}+8iz+4i$,则$f^{\prime}(1-i)=（）$ A.（A）-2i; B.（B）2i; C.（C）-2; D.（D）2.

题目解答

答案

首先，求导数 $ f'(z) $： \[ f(z) = z^3 + 8iz + 4i \implies f'(z) = 3z^2 + 8i. \] 然后，将 $ z = 1 - i $ 代入导数： \[ (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i, \] \[ f'(1 - i) = 3(-2i) + 8i = -6i + 8i = 2i. \] 答案：$\boxed{B}$

解析

考查要点：本题主要考查复变函数的导数计算，涉及多项式函数的求导法则以及复数的代数运算。

解题核心思路：

  1. 逐项求导：对函数$f(z)=z^3 + 8iz + 4i$逐项求导，得到$f'(z)$。
  2. 代入求值：将$z=1-i$代入导数表达式，计算时需注意复数的平方运算。

破题关键点：

  • 正确应用导数规则：多项式函数的导数遵循实变函数的规则，复数系数的处理方式相同。
  • 准确计算复数平方：计算$(1-i)^2$时需展开并化简，避免符号错误。

  1. 求导数
    对$f(z)=z^3 + 8iz + 4i$逐项求导：
    $f'(z) = 3z^2 + 8i$

  2. 代入$z=1-i$
    计算$(1-i)^2$：
    $(1-i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i + (-1) = -2i$
    代入导数表达式：
    $f'(1-i) = 3(-2i) + 8i = -6i + 8i = 2i$