已知奇函数 y=f(x) 在 (0,+infty ) 上单调递增,-|||-且 (x)lt 0 ,试问 (x)=dfrac (1)(f(x)) 在 (-infty ,0) 上单调递增还-|||-是单调递减?证明你的结论.-|||-[解]单调递减.证明如下:-|||-任取x1, _(2)in (-infty ,0) ,且 _(1)lt (x)_(2) ,-|||-则有 -(x)_(1)gt -(x)_(2)gt 0.-|||-.because y=f(x) 在 (0,+infty ) 上单调递增,且 (x)lt 0 ,-|||-therefore f(-(x)_(2))lt f(-(x)_(1))lt 0 。-|||-又 because f(x) 是奇函数,-|||-therefore f(-(x)_(2))=-f((x)_(2)) ,(-(x)_(1))=-f((x)_(1)) ,-|||-therefore -f((x)_(2))lt -f((x)_(1))lt 0 ,-|||-therefore f((x)_(2))gt f((x)_(1))gt 0 ((x)_(1))-F((x)_(2))=dfrac (1)(f({x)_(1))}-dfrac (1)(f({x)_(2))}=-|||-dfrac (f({x)_(2))-f((x)_(1))}(f({x)_(1))cdot f((x)_(2))}gt 0 ,即 ((x)_(1))gt F((x)_(2)) ,-|||-therefore F(x)=dfrac (1)(f(x)) 在 (-infty ,0) 上单调递减.

考查要点：本题主要考查奇函数的性质、函数单调性的判断，以及利用定义法证明函数单调性的能力。

解题核心思路：

1. 奇函数性质：利用$f(-x) = -f(x)$，将负区间上的函数值转化为正区间上的函数值。
2. 单调性转换：正区间上$f(x)$单调递增且为负，推导负区间上$f(x)$的单调性和符号。
3. 复合函数单调性：通过$f(x)$的单调性和符号，分析$F(x) = \dfrac{1}{f(x)}$的单调性。

破题关键点：

• 符号与单调性关系：正区间上$f(x)$递增且为负，负区间上$f(x)$为正且递增。
• 倒数函数性质：若$f(x)$在区间上正且递增，则$\dfrac{1}{f(x)}$在该区间上递减。

步骤1：分析$f(x)$在负区间上的符号与单调性

• 任取$x_1 < x_2 \in (-\infty, 0)$，则$-x_1 > -x_2 > 0$。
• 因$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增且$f(x) < 0$，故$f(-x_2) < f(-x_1) < 0$。
• 由奇函数性质$f(-x) = -f(x)$，得$f(-x_2) = -f(x_2)$，$f(-x_1) = -f(x_1)$。
• 代入不等式得：$-f(x_2) < -f(x_1) < 0$，即$f(x_2) > f(x_1) > 0$。
  结论：$f(x)$在$(-\infty, 0)$上为正且单调递增。

步骤2：比较$F(x_1)$与$F(x_2)$的大小

• $F(x_1) - F(x_2) = \dfrac{1}{f(x_1)} - \dfrac{1}{f(x_2)} = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{f(x_1) \cdot f(x_2)}$。
• 由$f(x_2) > f(x_1) > 0$，分子$f(x_2) - f(x_1) > 0$，分母$f(x_1) \cdot f(x_2) > 0$。
• 因此，$F(x_1) - F(x_2) > 0$，即$F(x_1) > F(x_2)$。

结论：$F(x)$在$(-\infty, 0)$上单调递减。