题目

设f(x)是定义在f(x)上的实值函数,满足f(x),f(x)在f(x)上黎曼可积(即f(x)存在),若f(x)在f(x)上的广义黎曼积分绝对收敛(即f(x)绝对收敛),证明:f(x)在f(x)上Lebesgue可积,且f(x)。。

设是定义在上的实值函数,满足,在上黎曼可积(即存在),若在上的广义黎曼积分绝对收敛(即绝对收敛),证明:在上Lebesgue可积,且

。。

题目解答

证明:由题设知是上的可测函数,从而是上的可测函数,于是,由非负可测函数L积分的完全可加性以及L积分与黎曼正常积分的关系,并注意到可得

(注:以上证明也可利用Levi定理得到)

又在上的广义黎曼积分绝对收敛,即

从而,即在上Lebesgue可积。

由于且单调递增,记,易知

且,于是,由L—控制收敛定理得在上Lebesgue可积,且

。