【题目】-|||-计算二重积分 =iint dfrac (1+xy)(1+{x)^2+(y)^2}dxdy, 其中区域-|||-= (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 1,xgeqslant 0} .

考查要点：本题主要考查二重积分的对称性应用及极坐标变换法。
解题思路：

1. 拆分积分函数：将被积函数拆分为$\frac{1}{1+x^2+y^2}$和$\frac{xy}{1+x^2+y^2}$两部分。
2. 利用对称性简化：观察到积分区域$D$关于$x$轴对称，且$\frac{xy}{1+x^2+y^2}$在$y$方向为奇函数，其积分值为$0$。
3. 极坐标变换：将剩余部分$\frac{1}{1+x^2+y^2}$在右半单位圆上的积分转换为极坐标计算。

拆分积分函数

将原积分拆分为两部分：
$I = \iint_D \frac{1}{1+x^2+y^2} \,dx\,dy + \iint_D \frac{xy}{1+x^2+y^2} \,dx\,dy.$

利用对称性简化第二部分

1. 对称性分析：积分区域$D$关于$x$轴对称，即若$(x,y) \in D$，则$(x,-y) \in D$。
2. 奇函数性质：被积函数$\frac{xy}{1+x^2+y^2}$满足$f(x,-y) = -f(x,y)$，因此：
   $\iint_D \frac{xy}{1+x^2+y^2} \,dx\,dy = 0.$

极坐标变换计算第一部分

1. 极坐标变换：区域$D$在极坐标下表示为$0 \leq r \leq 1$，$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，雅可比行列式为$r$。
2. 积分转换：
   $\iint_D \frac{1}{1+x^2+y^2} \,dx\,dy = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \frac{1}{1+r^2} \cdot r \,dr\,d\theta.$
3. 分步计算：
   • 对$\theta$积分：$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \pi$。
   • 对$r$积分：令$u = 1 + r^2$，则$\int_0^1 \frac{r}{1+r^2} \,dr = \frac{1}{2} \ln 2$。
4. 合并结果：
   $\pi \cdot \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{\pi}{2} \ln 2.$