题目

将一枚硬币独立地掷两次，引进事件:A1=(掷第一次出现正面)，A2=(掷第二次出现正面)，A3=(正、反面各出现一次)，A4=(正面出现两次)，则事件(　　)A. A1，A2，A3相互独立B. A2，A3，A4相互独立C. A1，A2，A3两两独立D. A2，A3，A4两两独立

将一枚硬币独立地掷两次，引进事件:A 1={掷第一次出现正面}，A 2={掷第二次出现正面}，A 3={正、反面各出现一次}，A 4={正面出现两次}，则事件(　　)
A. A 1，A 2，A 3相互独立
B. A 2，A 3，A 4相互独立
C. A 1，A 2，A 3两两独立
D. A 2，A 3，A 4两两独立

题目解答

答案

因为： P(A1)＝
1
2
， P(A2)＝
1
2
， P(A3)＝
1
2
， P(A4)＝
1
4
，
且   P(A1A2)＝
1
4
， P(A1A3)＝
1
4
， P(A2A3)＝
1
4
， P(A2A4)＝
1
4
P(A 1A 2A 3)=0，
从而有：
①P(A 1A 2)=P(A 1)P(A 2)，
②P(A 1A 3)=P(A 1)P(A 3)，
③P(A 2A 3)=P(A 2)P(A 3)，
④P(A 1A 2A 3)≠P(A 1)P(A 2)P(A 3)，
⑤P(A 2A 4)≠P(A 2)P(A 4)．
故：A 1，A 2，A 3两两独立但不相互独立；A 2，A 3，A 4不两两独立更不相互独立，
故选：C．

解析

步骤 1：计算各事件的概率
根据题意，硬币独立地掷两次，所以每个事件的概率如下：
- P(A1) = P(掷第一次出现正面) = 1/2
- P(A2) = P(掷第二次出现正面) = 1/2
- P(A3) = P(正、反面各出现一次) = 1/2
- P(A4) = P(正面出现两次) = 1/4

步骤 2：计算各事件的联合概率
- P(A1A2) = P(掷第一次出现正面且掷第二次出现正面) = 1/4
- P(A1A3) = P(掷第一次出现正面且正、反面各出现一次) = 1/4
- P(A2A3) = P(掷第二次出现正面且正、反面各出现一次) = 1/4
- P(A2A4) = P(掷第二次出现正面且正面出现两次) = 1/4
- P(A1A2A3) = P(掷第一次出现正面且掷第二次出现正面且正、反面各出现一次) = 0

步骤 3：判断事件的独立性
- A1，A2，A3两两独立的条件是：P(A1A2) = P(A1)P(A2)，P(A1A3) = P(A1)P(A3)，P(A2A3) = P(A2)P(A3)
- A2，A3，A4两两独立的条件是：P(A2A3) = P(A2)P(A3)，P(A2A4) = P(A2)P(A4)，P(A3A4) = P(A3)P(A4)
- A1，A2，A3相互独立的条件是：P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3)
- A2，A3，A4相互独立的条件是：P(A2A3A4) = P(A2)P(A3)P(A4)

根据步骤2的计算结果，可以得出：
- A1，A2，A3两两独立，但不相互独立，因为P(A1A2A3) ≠ P(A1)P(A2)P(A3)
- A2，A3，A4不两两独立，更不相互独立，因为P(A2A4) ≠ P(A2)P(A4)