题目
二、填空题（共10题，40.0分）23.（填空题，4.0分）设A为3阶矩阵，且|A|=-(1)/(2)，则行列式|(2A)^-1|=____。（若出现分数，用/表示）第一空
二、填空题（共10题，40.0分）
23.（填空题，4.0分）
设A为3阶矩阵，且$|A|=-\frac{1}{2}$，则行列式$|(2A)^{-1}|$=____。（若出现分数，用/表示）
第一空
题目解答
答案
根据矩阵行列式的性质，有：
1. $ |(2A)^{-1}| = \frac{1}{|2A|} $
2. $ |2A| = 2^3 |A| = 8 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -4 $
代入得：
\[
|(2A)^{-1}| = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}
\]
或利用 $ (2A)^{-1} = \frac{1}{2}A^{-1} $，则：
\[
\left| \frac{1}{2}A^{-1} \right| = \left(\frac{1}{2}\right)^3 |A^{-1}| = \frac{1}{8} \times \left(-2\right) = -\frac{1}{4}
\]
**答案：** $\boxed{-\frac{1}{4}}$
解析
考查要点：本题主要考查矩阵行列式的性质，特别是数量乘法对行列式的影响以及逆矩阵的行列式的计算方法。
解题核心思路：
- 利用行列式的性质：对于$n$阶矩阵$A$，$|kA| = k^n |A|$；
- 逆矩阵的行列式：$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$；
- 分步计算：先计算$|2A|$，再求其倒数得到$|(2A)^{-1}|$。
破题关键点：
- 明确矩阵的阶数（3阶），确定标量乘法的指数；
- 正确应用逆矩阵行列式的公式。
步骤1：计算$|2A|$
根据行列式的性质，对于3阶矩阵$A$，有：
$|2A| = 2^3 |A| = 8 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -4$
步骤2：求$(2A)^{-1}$的行列式
逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数：
$|(2A)^{-1}| = \frac{1}{|2A|} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$
验证方法：
将$(2A)^{-1}$表示为$\frac{1}{2}A^{-1}$，则：
$\left|\frac{1}{2}A^{-1}\right| = \left(\frac{1}{2}\right)^3 |A^{-1}| = \frac{1}{8} \times \frac{1}{|A|} = \frac{1}{8} \times (-2) = -\frac{1}{4}$