5.对任何点集SC R^2,导集S^4亦为闭集.

步骤 1：定义导集
导集S^d定义为S中所有聚点的集合。聚点是指在S中，对于任意给定的正数ε，以该点为中心，半径为ε的开球内都包含S中的至少一个不同于该点的点。

步骤 2：证明导集S^d是闭集
为了证明S^d是闭集，我们需要证明S^d的补集是开集。即，对于S^d的补集中的任意一点p，存在一个以p为中心的开球，使得该开球完全包含在S^d的补集中。
- 假设p是S^d的补集中的一点，即p不是S的聚点。
- 根据聚点的定义，存在一个以p为中心的开球U(p, ε)，使得U(p, ε)与S的交集至多包含p点本身。
- 因此，U(p, ε)中除了p点外，没有S的其他点，这意味着U(p, ε)中没有S的聚点。
- 由于U(p, ε)中没有S的聚点，U(p, ε)完全包含在S^d的补集中。
- 因此，S^d的补集是开集，从而S^d是闭集。

步骤 3：结论
根据上述证明，对于任何点集S，其导集S^d是闭集。