10.设f(z)=(1)/(z)-zsin(1)/(z^2)，则Res[f(z),0]=____.

考查要点：本题主要考查复变函数中留数的计算，需要利用洛朗级数展开的方法，找到函数在孤立奇点处的特定项系数。

解题核心思路：

1. 分解函数：将函数$f(z)$拆分为$\frac{1}{z}$和$-z\sin\frac{1}{z^2}$两部分。
2. 展开洛朗级数：对$\sin\frac{1}{z^2}$进行泰勒展开，再乘以$-z$，得到对应的洛朗级数。
3. 合并项：将两部分的展开式相加，观察$\frac{1}{z}$项的系数是否存在，从而确定留数。

破题关键点：

• 正确展开$\sin\frac{1}{z^2}$的泰勒级数，并注意符号和幂次的变化。
• 合并展开式后，确认$\frac{1}{z}$项是否抵消，若抵消则留数为0。

1. 分解函数
   $f(z) = \frac{1}{z} - z\sin\frac{1}{z^2}$，需分别处理两部分。

2. 展开$\sin\frac{1}{z^2}$的泰勒级数
   根据泰勒展开公式：
   $\sin w = w - \frac{w^3}{3!} + \frac{w^5}{5!} - \cdots$
   令$w = \frac{1}{z^2}$，得：
   $\sin\frac{1}{z^2} = \frac{1}{z^2} - \frac{1}{3!z^6} + \frac{1}{5!z^{10}} - \cdots$

3. 乘以$-z$
   将$\sin\frac{1}{z^2}$的展开式乘以$-z$：
   $-z\sin\frac{1}{z^2} = -z\left(\frac{1}{z^2} - \frac{1}{3!z^6} + \frac{1}{5!z^{10}} - \cdots\right) = -\frac{1}{z} + \frac{1}{3!z^5} - \frac{1}{5!z^9} + \cdots$

4. 合并两部分
   将$f(z)$的两部分相加：
   $f(z) = \frac{1}{z} + \left(-\frac{1}{z} + \frac{1}{3!z^5} - \frac{1}{5!z^9} + \cdots\right) = \frac{1}{3!z^5} - \frac{1}{5!z^9} + \cdots$
   $\frac{1}{z}$项的系数为0，因此留数为0。