设某向量组的秩为r,则下列对该向量组所下的结论中错误的是()A. 所有含r个向量的向量组都线性无关B. 所有含r+1个向量的向量组都线性相关C. 至少存在一个线性无关的向量组含有r个向量D. 所有线性无关的向量组含有的向量个数不超过r

本题考查向量组的秩的相关知识。解题的关键在于理解向量组的秩的定义以及它与向量组线性相关性之间的关系。向量组的秩是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。

对各选项的分析

• A选项：
  向量组的秩为$r$，只能说明存在一个含有$r$个向量的极大线性无关组，但并不是所有含$r$个向量的向量组都线性无关。
  例如，设向量组$\vec{\alpha}_1=(1,0,0)$，$\vec{\alpha}_2=(2,0,0)$，$\vec{\alpha}_3=(0,1,0)$，该向量组的秩$r = 2$，极大线性无关组可以是$\{\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_3\}$。
  然而，向量组$\{\vec{\alpha}_1=(1,0,0)$，$\vec{\alpha}_2=(2,0,0)$虽然含有$2$个向量，但由于$\vec{\alpha}_2 = 2\vec{\alpha}_1$，根据线性相关的定义：若存在不全为零的数$k_1,k_2$，使得$k_1\vec{\alpha}_1 + k_2\vec{\alpha}_2=\vec{0}$，这里$k_1=-2,k_2 = 1$时满足$-2\vec{\alpha}_1+\vec{\alpha}_2=\vec{0}$，所以该向量组线性相关。因此A选项错误。
• B选项：
  根据向量组秩的性质，若向量组的秩为$r$，那么任意含有$r + 1$个向量的向量组一定线性相关。
  假设存在一个含有$r + 1$个向量的向量组$\{\vec{\beta}_1,\vec{\beta}_2,\cdots,\vec{\beta}_{r + 1}\}$线性无关，那么该向量组的秩至少为$r + 1$，这与已知向量组的秩为$r$矛盾。所以所有含$r + 1$个向量的向量组都线性相关，B选项正确。
• C选项：
  向量组的秩为$r$，其定义就是存在一个含有$r$个向量的极大线性无关组，而极大线性无关组是线性无关的。所以至少存在一个线性无关的向量组含有$r$个向量，C选项正确。
• D选项：
  因为向量组的秩$r$是向量组中极大线性无关组所含向量的个数，所以任何线性无关的向量组所含向量的个数都不会超过极大线性无关组所含向量的个数，即不超过$r$。所以所有线性无关的向量组含有的向量个数不超过$r$，D选项正确。