题目
欲建一个底面为正方形的蓄水池，使其容积为定值a，若池底单位面积造价是四壁单位面积造价的二倍，当底面边长为多少时，可使总造价最低.
欲建一个底面为正方形的蓄水池，使其容积为定值a，若池底单位面积造价是四壁单位面积造价的二倍，当底面边长为多少时，可使总造价最低.
题目解答
答案
解：
设蓄水池底面边长为
，则高为
，四壁单位面积造价为
，总造价为
则底面积
，四壁面积
∴
，令
，得
当
时，
；当
时，
∴时，有最小值.
故当底面边长为
时，可使总造价最低.
解析
步骤 1：定义变量
设蓄水池底面边长为$x$，则蓄水池的高为$\frac{a}{x^2}$，其中$a$为蓄水池的容积。设四壁单位面积造价为$b$，则池底单位面积造价为$2b$。
步骤 2：计算底面积和四壁面积
底面积$S_1 = x^2$，四壁面积$S_2 = 4 \cdot x \cdot \frac{a}{x^2} = \frac{4a}{x}$。
步骤 3：计算总造价
总造价$y = 2b \cdot S_1 + b \cdot S_2 = 2b \cdot x^2 + b \cdot \frac{4a}{x} = 2bx^2 + \frac{4ab}{x}$。
步骤 4：求导数并求极值
对总造价$y$关于$x$求导，得到$y' = 4bx - \frac{4ab}{x^2}$。令$y' = 0$，解得$x = \sqrt[3]{a}$。
步骤 5：验证极值点
当$x < \sqrt[3]{a}$时，$y' < 0$；当$x > \sqrt[3]{a}$时，$y' > 0$。因此，$x = \sqrt[3]{a}$时，总造价$y$取得最小值。
设蓄水池底面边长为$x$，则蓄水池的高为$\frac{a}{x^2}$，其中$a$为蓄水池的容积。设四壁单位面积造价为$b$，则池底单位面积造价为$2b$。
步骤 2：计算底面积和四壁面积
底面积$S_1 = x^2$，四壁面积$S_2 = 4 \cdot x \cdot \frac{a}{x^2} = \frac{4a}{x}$。
步骤 3：计算总造价
总造价$y = 2b \cdot S_1 + b \cdot S_2 = 2b \cdot x^2 + b \cdot \frac{4a}{x} = 2bx^2 + \frac{4ab}{x}$。
步骤 4：求导数并求极值
对总造价$y$关于$x$求导，得到$y' = 4bx - \frac{4ab}{x^2}$。令$y' = 0$，解得$x = \sqrt[3]{a}$。
步骤 5：验证极值点
当$x < \sqrt[3]{a}$时，$y' < 0$；当$x > \sqrt[3]{a}$时，$y' > 0$。因此，$x = \sqrt[3]{a}$时，总造价$y$取得最小值。