题目

设f(x)=(1-xcdot2^1-x)/((2-x)(1-x))(xneq1,2)，若f(x)在[1,2]上连续，则f(1)f(2)=______。

设$f(x)=\frac{1-x\cdot2^{1-x}}{(2-x)(1-x)}(x\neq1,2)$，若$f(x)$在$[1,2]$上连续，则$f(1)f(2)=$______。

题目解答

答案

令 $ f(x) = \frac{1 - x \cdot 2^{1-x}}{(2-x)(1-x)} $，为使 $ f(x) $ 在 $[1, 2]$ 上连续，需定义 $ f(1) $ 和 $ f(2) $ 为极限值。

  1. 求 $ f(1) $：
    $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{1 - x \cdot 2^{1-x}}{(2-x)(1-x)} = \lim_{y \to 0} \frac{y(1 - \ln 2)}{(1+y)y} = 1 - \ln 2$
    故 $ f(1) = 1 - \ln 2 $。

  2. 求 $ f(2) $：
    $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{1 - x \cdot 2^{1-x}}{(2-x)(1-x)} = \lim_{y \to 0} \frac{y\left(\frac{1}{2} - \ln 2\right)}{y(y-1)} = \ln 2 - \frac{1}{2}$
    故 $ f(2) = \ln 2 - \frac{1}{2} $。

  3. 计算 $ f(1) f(2) $：
    $f(1) f(2) = (1 - \ln 2)\left(\ln 2 - \frac{1}{2}\right) = -(\ln 2)^2 + \frac{3}{2} \ln 2 - \frac{1}{2}$

答案： $\boxed{-(\ln 2)^2 + \frac{3}{2} \ln 2 - \frac{1}{2}}$

解析

本题考查函数连续性的概念以及极限的计算，解题的关键在于利用函数在某点连续的定义，即函数在该点的极限值等于函数值，通过换元法和等价无穷小等方法来计算极限。

1. 求$f(1)$的值

已知$f(x)=\frac{1 - x\cdot2^{1 - x}}{(2 - x)(1 - x)}$，为使$f(x)$在$x = 1$处连续，$f(1)$的值应等于$\lim\limits_{x \to 1} f(x)$。
令$x = 1 + y$，当$x \to 1$时，$y \to 0$，则$f(x)$可转化为：
$\begin{align*}\lim\limits_{x \to 1} f(x)&=\lim\limits_{y \to 0} \frac{1 - (1 + y)\cdot2^{-y}}{(2 - (1 + y))(1 - (1 + y))}\\&=\lim\limits_{y \to 0} \frac{1 - (1 + y)\cdot2^{-y}}{(1 - y)(-y)}\\&=\lim\limits_{y \to 0} \frac{1 - (1 + y)\cdot(1 - y\ln 2 + o(y))}{-y(1 - y)}&(根据e^x\approx1+x，2^{-y}=e^{-y\ln2}\approx1 - y\ln 2 + o(y))\\&=\lim\limits_{y \to 0} \frac{1 - (1 - y\ln 2 + o(y) + y - y^2\ln 2 + o(y^2))}{-y(1 - y)}\\&=\lim\limits_{y \to 0} \frac{1 - 1 + y\ln 2 - y + o(y)}{-y(1 - y)}\\&=\lim\limits_{y \to 0} \frac{y(\ln 2 - 1 + o(1))}{-y(1 - y)}\\&=\lim\limits_{y \to 0} \frac{y(1 - \ln 2)}{(1 - y)y}\\&= 1 - \ln 2\end{align*}$
所以$f(1) = 1 - \ln 2$。

2. 求$f(2)$的值

为使$f(x)$在$x = 2$处连续，$f(2)$的值应等于$\lim\limits_{x \to 2} f(x)$。
令$x = 2 + y$，当$x \to 2$时，$y \to 0$，则$f(x)$可转化为：
$\begin{align*}\lim\limits_{x \to 2} f(x)&=\lim\limits_{y \to 0} \frac{1 - (2 + y)\cdot2^{-1 - y}}{(2 - (2 + y))(1 - (2 + y))}\\&=\lim\limits_{y \to 0} \frac{1 - (2 + y)\cdot2^{-1}\cdot2^{-y}}{(-y)(-1 - y)}\\&=\lim\limits_{y \to 0} \frac{1 - \frac{1}{2}(2 + y)\cdot(1 - y\ln 2 + o(y))}{y(1 + y)}\\&=\lim\limits_{y \to 0} \frac{1 - \frac{1}{2}(2 - 2y\ln 2 + o(y) + y - y^2\ln 2 + o(y^2))}{y(1 + y)}\\&=\lim\limits_{y \to 0} \frac{1 - (1 - y\ln 2 + \frac{1}{2}y + o(y))}{y(1 + y)}\\&=\lim\limits_{y \to 0} \frac{y(\ln 2 - \frac{1}{2} + o(1))}{y(1 + y)}\\&=\lim\limits_{y \to 0} \frac{y(\frac{1}{2} - \ln 2)}{y(y - 1)}\\&= \ln 2 - \frac{1}{2}\end{align*}$
所以$f(2) = \ln 2 - \frac{1}{2}$。

3. 计算$f(1)f(2)$的值

将$f(1) = 1 - \ln 2$和$f(2) = \ln 2 - \frac{1}{2}$代入$f(1)f(2)$可得：
$\begin{align*}f(1)f(2)&=(1 - \ln 2)(\ln 2 - \frac{1}{2})\\&=1\times\ln 2 - 1\times\frac{1}{2} - \ln 2\times\ln 2 + \ln 2\times\frac{1}{2}\\&=-(\ln 2)^2 + \frac{3}{2} \ln 2 - \frac{1}{2}\end{align*}$