题目
微分方程 x^2 (dy)/(dx) = 2xy + 3 的通解是().A. y = cx - (1)/(x^2)B. y = cx + (1)/(x^2)C. y = cx^2 - (1)/(x)D. y = cx^2 + (1)/(x)
微分方程 $x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy + 3$ 的通解是().
A. $y = cx - \frac{1}{x^2}$
B. $y = cx + \frac{1}{x^2}$
C. $y = cx^2 - \frac{1}{x}$
D. $y = cx^2 + \frac{1}{x}$
题目解答
答案
C. $y = cx^2 - \frac{1}{x}$
解析
步骤 1：将微分方程改写为标准形式
将方程 $x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy + 3$ 两边同时除以 $x^2$，得到： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2} + \frac{3}{x^2} = \frac{2y}{x} + \frac{3}{x^2} \] 这是关于 $y$ 的一阶线性微分方程，其标准形式为： \[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \] 其中 $P(x) = -\frac{2}{x}$ 和 $Q(x) = \frac{3}{x^2}$。
步骤 2：计算 $e^{\int P(x) \, dx}$
首先，我们计算 $e^{\int P(x) \, dx}$： \[ \int P(x) \, dx = \int -\frac{2}{x} \, dx = -2 \ln x = \ln \frac{1}{x^2} \] \[ e^{\int P(x) \, dx} = e^{\ln \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{x^2} \]
步骤 3：计算 $\int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx$
接下来，我们计算 $\int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx$： \[ Q(x) e^{\int P(x) \, dx} = \frac{3}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{3}{x^4} \] \[ \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx = \int \frac{3}{x^4} \, dx = 3 \int x^{-4} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{x^3} \]
步骤 4：代入通解公式
现在，将这些结果代入通解公式中： \[ y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) = \frac{1}{\frac{1}{x^2}} \left( -\frac{1}{x^3} + C \right) = x^2 \left( -\frac{1}{x^3} + C \right) = -\frac{1}{x} + Cx^2 \] 因此，微分方程 $x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy + 3$ 的通解是： \[ y = Cx^2 - \frac{1}{x} \]
将方程 $x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy + 3$ 两边同时除以 $x^2$，得到： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2} + \frac{3}{x^2} = \frac{2y}{x} + \frac{3}{x^2} \] 这是关于 $y$ 的一阶线性微分方程，其标准形式为： \[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \] 其中 $P(x) = -\frac{2}{x}$ 和 $Q(x) = \frac{3}{x^2}$。
步骤 2：计算 $e^{\int P(x) \, dx}$
首先，我们计算 $e^{\int P(x) \, dx}$： \[ \int P(x) \, dx = \int -\frac{2}{x} \, dx = -2 \ln x = \ln \frac{1}{x^2} \] \[ e^{\int P(x) \, dx} = e^{\ln \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{x^2} \]
步骤 3：计算 $\int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx$
接下来，我们计算 $\int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx$： \[ Q(x) e^{\int P(x) \, dx} = \frac{3}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{3}{x^4} \] \[ \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx = \int \frac{3}{x^4} \, dx = 3 \int x^{-4} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{x^3} \]
步骤 4：代入通解公式
现在，将这些结果代入通解公式中： \[ y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) = \frac{1}{\frac{1}{x^2}} \left( -\frac{1}{x^3} + C \right) = x^2 \left( -\frac{1}{x^3} + C \right) = -\frac{1}{x} + Cx^2 \] 因此，微分方程 $x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy + 3$ 的通解是： \[ y = Cx^2 - \frac{1}{x} \]