已知随机变量 X 的概率密度为 f(x) = Ae^-|x|, -infty < x < +infty.(1) 求系数 A;(2) 求 X 的分布函数 F(x);(3) 求 Y = X^2 的概率密度.

我们来逐题分析并解决这个题目。

题目：

已知随机变量 $ X $ 的概率密度为：

$f(x) = A e^{-|x|}, \quad -\infty < x < +\infty$

(1) 求系数 $ A $

概率密度函数必须满足归一化条件：

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$

代入 $ f(x) = A e^{-|x|} $，我们有：

$\int_{-\infty}^{+\infty} A e^{-|x|} dx = 1$

注意到 $ e^{-|x|} $ 是偶函数，所以可以写成：

$A \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|} dx = 2A \int_0^{+\infty} e^{-x} dx$

因为当 $ x \ge 0 $ 时，$ |x| = x $，所以：

$2A \int_0^{+\infty} e^{-x} dx = 2A \cdot [ -e^{-x} ]_0^{+\infty} = 2A (0 - (-1)) = 2A$

令其等于 1：

$2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}$

(2) 求 $ X $ 的分布函数 $ F(x) $

分布函数定义为：

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$

我们已经知道 $ f(x) = \frac{1}{2} e^{-|x|} $，我们分情况讨论。

情况一：当 $ x \ge 0 $

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2} e^{-|t|} dt = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{2} e^{t} dt + \int_{0}^{x} \frac{1}{2} e^{-t} dt$

分别计算：

• 第一部分：
  $\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{2} e^{t} dt = \frac{1}{2} [e^t]_{-\infty}^{0} = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2}$

• 第二部分：
  $\int_{0}^{x} \frac{1}{2} e^{-t} dt = \frac{1}{2} [-e^{-t}]_0^x = \frac{1}{2} (1 - e^{-x})$

所以总和为：

$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1 - e^{-x}) = 1 - \frac{1}{2} e^{-x}$

情况二：当 $ x < 0 $

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2} e^{-|t|} dt = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2} e^{t} dt = \frac{1}{2} [e^t]_{-\infty}^{x} = \frac{1}{2} (e^x - 0) = \frac{1}{2} e^x$

总结分布函数 $ F(x) $：

$F(x) = \begin{cases}\frac{1}{2} e^x, & x < 0 \\1 - \frac{1}{2} e^{-x}, & x \ge 0\end{cases}$

(3) 求 $ Y = X^2 $ 的概率密度

我们要求 $ Y = X^2 $ 的概率密度函数 $ f_Y(y) $，其中 $ y \ge 0 $。

我们使用 变量变换法：

步骤一：求反函数

因为 $ Y = X^2 $，所以对于每个 $ y > 0 $，有两个对应的 $ x $ 值：

$x = \pm \sqrt{y}$

步骤二：利用公式

对于单调变换的变量变换，概率密度函数为：

$f_Y(y) = \sum_{i} \frac{f_X(x_i)}{|g'(x_i)|}$

这里 $ g(x) = x^2 $，所以 $ g'(x) = 2x $，因此：

$f_Y(y) = \frac{f_X(\sqrt{y})}{|2\sqrt{y}|} + \frac{f_X(-\sqrt{y})}{|2\sqrt{y}|}$

由于 $ f_X(x) = \frac{1}{2} e^{-|x|} $，所以：

$f_X(\sqrt{y}) = \frac{1}{2} e^{-\sqrt{y}}, \quad f_X(-\sqrt{y}) = \frac{1}{2} e^{-\sqrt{y}}$

所以：

$f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \left( \frac{1}{2} e^{-\sqrt{y}} + \frac{1}{2} e^{-\sqrt{y}} \right) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot e^{-\sqrt{y}} = \frac{e^{-\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}}$

最终答案：

$f_Y(y) = \frac{e^{-\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}}, \quad y > 0$

总结答案：

1. $ A = \boxed{\frac{1}{2}} $

2. 分布函数为：

$F(x) = \begin{cases}\frac{1}{2} e^x, & x < 0 \\1 - \frac{1}{2} e^{-x}, & x \ge 0\end{cases}$

3. $ Y = X^2 $ 的概率密度为：

$f_Y(y) = \boxed{\frac{e^{-\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}}}, \quad y > 0$