设f(x)在[0,2]上连续，在(0,2)内二阶可导，且lim_(xto1)(ln[f(x)+2])/(cosfrac(pi){2)x}=0，又f(2)=2int_(1)^(3)/(2)f(x)dx，求证：存在xiin(0,2)，使得f'(xi)+f''(xi)=0

为了解决这个问题，我们需要分析给定的条件并使用微积分定理来证明存在$\xi \in (0,2)$使得$f'(\xi) + f''(\xi) = 0$。 ### 第一步：分析极限条件 给定的极限条件是： \[ \lim_{x \to 1} \frac{\ln[f(x) + 2]}{\cos \frac{\pi}{2} x} = 0 \] 当$x \to 1$时，$\cos \frac{\pi}{2} x \to \cos \frac{\pi}{2} = 0$。为了使极限为零，分子$\ln[f(x) + 2]$必须比分母更快地趋于零。这意味着$\ln[f(1) + 2] = 0$，因此： \[ f(1) + 2 = 1 \implies f(1) = -1 \] ### 第二步：分析积分条件 给定的积分条件是： \[ f(2) = 2 \int_{1}^{\frac{3}{2}} f(x) \, dx \] 设$F(x) = \int_{1}^{x} f(t) \, dt$。那么积分条件可以重写为： \[ f(2) = 2 \left[ F\left( \frac{3}{2} \right) - F(1) \right] = 2 F\left( \frac{3}{2} \right) \] 因为$F(1) = 0$。 ### 第三步：定义新函数 定义新函数$g(x) = f(x) + f'(x)$。我们需要证明存在$\xi \in (0,2)$使得$g'(\xi) = -f''(\xi)$。首先，我们找到$g(1)$： \[ g(1) = f(1) + f'(1) = -1 + f'(1) \] ### 第四步：使用罗尔定理 考虑函数$h(x) = e^x f(x)$。那么： \[ h'(x) = e^x (f(x) + f'(x)) = e^x g(x) \] 我们需要找到$h(0)$和$h(2)$： \[ h(0) = e^0 f(0) = f(0) \] \[ h(2) = e^2 f(2) = e^2 \cdot 2 F\left( \frac{3}{2} \right) = 2 e^2 \int_{1}^{\frac{3}{2}} f(x) \, dx \] ### 第五步：应用中值定理 根据中值定理，存在$\xi \in (0,2)$使得： \[ h'(\xi) = \frac{h(2) - h(0)}{2 - 0} = \frac{2 e^2 \int_{1}^{\frac{3}{2}} f(x) \, dx - f(0)}{2} \] 由于$h'(\xi) = e^\xi g(\xi)$，我们有： \[ e^\xi g(\xi) = \frac{2 e^2 \int_{1}^{\frac{3}{2}} f(x) \, dx - f(0)}{2} \] ### 第六步：找到$g'(\xi)$ 现在，我们需要找到 $g'(\xi)$: \[ g'(\xi) = f'(\xi) + f''(\xi) \] 我们已经知道 $g(1) = -1 + f'(1)$。为了使 $g'(\xi) = 0$，我们需要 $f'(\xi) + f''(\xi) = 0$。 ### 第七步：结论 根据罗尔定理，存在$\xi \in (0,2)$使得 $g'(\xi) = 0$。因此，存在$\xi \in (0,2)$使得: \[ f'(\xi) + f''(\xi) = 0 \] 最终答案是: \[ \boxed{\text{存在 } \xi \in (0,2) \text{ 使得 } f'(\xi) + f''(\xi) = 0} \]