题目
一个质量为0.5kg的质点在平面上运动，其运动学方程为x=2cospi t，y=4t(SI单位)，求t=2s时该质点所受的合力F是多少？
一个质量为0.5kg的质点在平面上运动，其运动学方程为$x=2cos\pi t$，$y=4t$(SI单位)，求$t=2s$时该质点所受的合力F是多少？
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查质点运动学方程的求导求解加速度，以及牛顿第二定律的应用。
解题核心思路：
- 通过运动学方程求导得到加速度：分别对$x$和$y$坐标关于时间求二阶导数，得到$x$和$y$方向的加速度分量。
- 合成合力：根据牛顿第二定律$F=ma$，将加速度分量与质量相乘，得到合力的大小和方向。
破题关键点：
- 正确求导：注意$x$方向的加速度为变加速，需代入具体时间计算；$y$方向匀速运动，加速度为零。
- 方向判断：加速度的符号直接决定合力方向。
求解加速度分量
-
$x$方向：
- 位移：$x = 2\cos\pi t$
- 速度：$v_x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -2\pi \sin\pi t$
- 加速度：$a_x = \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -2\pi^2 \cos\pi t$
- 代入$t=2\,\text{s}$：$\cos(2\pi) = 1$，得$a_x = -2\pi^2 \, \text{m/s}^2$（方向沿$x$轴负方向）。
-
$y$方向：
- 位移：$y = 4t$
- 速度：$v_y = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 4$
- 加速度：$a_y = \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} = 0$
合力计算
- 大小：$F = m|a_x| = 0.5 \cdot 2\pi^2 = \pi^2 \approx 9.86\, \text{N}$
- 方向：与$a_x$同向，即水平向左（沿$x$轴负方向）。