函数f(x)=(1)/(1+x^2)展开成x的幂级数为（）.A. sum_(n=0)^inftyx^2n,|x|B. sum_(n=0)^infty(-1)^nx^2n,|x|C. sum_(n=0)^inftyx^n,|x|D. sum_(n=0)^inftyx^2n,|x|

本题考查函数展开成幂级数的知识，解题思路是利用已知的幂级数展开式，通过代换的方法将给定函数展开成$x$的幂级数，并确定其收敛区间。

我们知道等比级数的求和公式为$\frac{1}{1 - t}=\sum_{n = 0}^{\infty}t^{n}$，其收敛区间为$\vert t\vert< 1$。

对于函数$f(x)=\frac{1}{1 + x^{2}}$，我们可以令$t=-x^{2}$，将其代入到上述等比级数展开式中。

• 步骤一：进行代换
  把$t = -x^{2}$代入$\frac{1}{1 - t}=\sum_{n = 0}^{\infty}t^{n}$，可得：
  $f(x)=\frac{1}{1 + x^{2}}=\frac{1}{1-(-x^{2})}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-x^{2})^{n}$

• 步骤二：化简幂级数
  根据幂的运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，对$(-x^{2})^{n}$进行化简：
  $(-x^{2})^{n}=(-1)^{n}(x^{2})^{n}=(-1)^{n}x^{2n}$
  所以$f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}$

• 步骤三：确定收敛区间
  因为等比级数$\frac{1}{1 - t}=\sum_{n = 0}^{\infty}t^{n}$的收敛区间为$\vert t\vert< 1$，现在$t = -x^{2}$，则有$\vert -x^{2}\vert< 1$。
  由于$\vert -x^{2}\vert=\vert x^{2}\vert=x^{2}$（因为任何数的平方都大于等于$0$），所以$x^{2}< 1$，解这个不等式可得$-1< x< 1$，即$\vert x\vert< 1$。

综上，函数$f(x)=\frac{1}{1 + x^{2}}$展开成$x$的幂级数为$\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}$，收敛区间为$\vert x\vert< 1$。