【例2.35】曲线{}x=t^2+7y=t^2+4t+1.上对应于t=1点处的曲率是（）.A. (sqrt(10))/(50)B. (sqrt(10))/(100)C. 10sqrt(10)D. 5sqrt(10)

本题考查参数方程表示的曲线的曲率计算。解题思路是先根据参数方程求出$x$和$y$关于$t$的一阶导数和二阶导数，再代入参数方程表示的曲线曲率公式，最后将$t = 1$代入求出对应点处的曲率。

步骤一：求$x$和$y$关于$t$的一阶导数

已知曲线的参数方程为$\begin{cases}x=t^{2}+7\\y=t^{2}+4t + 1\end{cases}$，对$x$关于$t$求导：
根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$x^\prime(t)=(t^{2}+7)^\prime=2t$。
对$y$关于$t$求导：
$y^\prime(t)=(t^{2}+4t + 1)^\prime=2t + 4$。

步骤二：求$x$和$y$关于$t$的二阶导数

对$x^\prime(t)=2t$关于$t$求导：
$x^{\prime\prime}(t)=(2t)^\prime=2$。
对$y^\prime(t)=2t + 4$关于$t$求导：
$y^{\prime\prime}(t)=(2t + 4)^\prime=2$。

步骤三：代入参数方程表示的曲线曲率公式

参数方程表示的曲线$\begin{cases}x = x(t)\\y = y(t)\end{cases}$的曲率公式为$K=\frac{\vert x^\prime(t)y^{\prime\prime}(t)-x^{\prime\prime}(t)y^\prime(t)\vert}{(x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t))^{\frac{3}{2}}}$。
将$x^\prime(t)=2t$，$y^\prime(t)=2t + 4$，$x^{\prime\prime}(t)=2$，$y^{\prime\prime}(t)=2$代入公式可得：
$\begin{align*}K&=\frac{\vert 2t\times 2 - 2\times(2t + 4)\vert}{((2t)^{2}+(2t + 4)^{2})^{\frac{3}{2}}}\\&=\frac{\vert 4t - 4t - 8\vert}{(4t^{2}+4t^{2}+16t + 16)^{\frac{3}{2}}}\\&=\frac{\vert - 8\vert}{(8t^{2}+16t + 16)^{\frac{3}{2}}}\\&=\frac{8}{(8(t^{2}+2t + 2))^{\frac{3}{2}}}\\&=\frac{8}{8^{\frac{3}{2}}(t^{2}+2t + 2)^{\frac{3}{2}}}\\&=\frac{1}{2\sqrt{2}(t^{2}+2t + 2)^{\frac{3}{2}}}\end{align*}$

步骤四：将$t = 1$代入求出对应点处的曲率

当$t = 1$时，$K=\frac{1}{2\sqrt{2}(1^{2}+2\times 1 + 2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{2}\times 5^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{2}\times 5\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{100}$。