题目

求下列函数的极值：(1) y=x^3-x^2-x+4;答：_____。(2) y=2x^2-x^4;答：_____。(3) y=-x^3+3x-5；答：_____。(4) y=4x^3-3x^2-6x+2.答：_____。

求下列函数的极值：

$$(1)$$ $$y=x^3-x^2-x+4$$;

答：_____。

$$(2)$$ $$y=2x^2-x^4$$;
答：_____。
$$(3)$$ $$y=-x^3+3x-5$$；
答：_____。
$$(4)$$ $$y=4x^3-3x^2-6x+2$$.
答：_____。

题目解答

答案

解：

$$(1)$$ $$y'=3x^2-2x-1$$,

令$$y'=0$$, 得$$x_1=-\frac{1}{3}$$, $$x_2=1$$.

当$$x$$变化时，$$y'$$、$$y$$的变化状态见下表：


所以当$$x=-\frac{1}{3}$$时，$$y$$取得极大值为$$\frac{113}{27}$$;

当$$x=1$$时，$$y$$取得极小值为$$3$$.

$$(2)$$ $$y'=4x-4x^3$$,

令$$y'=0$$, 解得$$x_1=0$$, $$x_2=-1$$, $$x_3=1$$.

当$$x$$变化时，$$y'$$、$$y$$的变化状态见下表：


所以当$$x=±1$$时，$$y$$取得极大值为$$1$$；

当$$x=0$$时，$$y$$取得极小值为$$0$$.

$$(3)$$ $$y'=-3x^2+3$$,

令$$y'=0$$, 得$$x_1=-1$$, $$x_2=1$$.

当$$x$$变化时，$$y'$$、$$y$$的变化状态见下表：


易知当$$x=1$$时，$$y$$取得极大值为$$-3$$;

当$$x=-1$$时，$$y$$取得极小值为$$-7$$.

$$(4)$$ $$y'=12x^2-6x-6$$,

令$$y'=0$$, 得$$x_1=-\frac{1}{2}$$, $$x_2=1$$.

当$$x$$变化时，$$y'$$、$$y$$的变化状态见下表：

所以当$$x=-\frac{1}{2}$$时，$$y$$取得极大值为$$\frac{15}{4}$$;

当$$x=1$$时，$$y$$取得极小值为$$-3$$.

解析

步骤 1：求导数
对于每个函数，首先求出其一阶导数，以确定函数的增减性。
步骤 2：求临界点
令一阶导数等于零，解出临界点，即可能的极值点。
步骤 3：判断极值
通过一阶导数的符号变化，判断临界点处的函数值是极大值还是极小值。
步骤 4：计算极值
将临界点代入原函数，计算出极值。