随堂练习2.1.4: 已知 A 、 B 是3阶方阵,以下结论错误的是( )A. |A||B|=|AB|=|BA|B. (B+A)^T=A^T+B^TC. |2A|=4|A|D. A^T B^T = (BA)^T

本题主要考查方阵的行列式、转置等相关知识点。解题思路是根据方阵行列式和转置的性质，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

根据方阵行列式的性质：对于两个同阶方阵$A$和$B$，有$\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert$。
同时，方阵乘法满足交换律时$AB = BA$，虽然一般情况下方阵乘法不满足交换律，但行列式的值是相等的，即$\vert AB\vert=\vert BA\vert$。
所以$\vert A\vert\vert B\vert=\vert AB\vert=\vert BA\vert$，该选项正确。

选项B

根据矩阵转置的性质：对于两个同阶矩阵$A$和$B$，有$(A + B)^T = A^T + B^T$。
所以$(B + A)^T = A^T + B^T$，该选项正确。

选项C

设$A$是$n$阶方阵，$k$为常数，则$\vert kA\vert = k^n\vert A\vert$。
已知$A$是$3$阶方阵，那么$\vert 2A\vert = 2^3\vert A\vert = 8\vert A\vert\neq 4\vert A\vert$，该选项错误。

选项D

根据矩阵转置的性质：对于两个同阶矩阵$A$和$B$，有$(AB)^T = B^T A^T$。
所以$A^T B^T = (BA)^T$，该选项正确。