题目
单选题（共15题，30.0分）题型说明：从备选答案中选出一个正确答案，错选、不选均不得分。10.（2.0分）y=sqrt[3](x)在x=0处A 连续但不可导B 不连续但可导C 既连续又可导
单选题（共15题，30.0分）
题型说明：从备选答案中选出一个正确答案，错选、不选均不得分。
10.（2.0分）$y=\sqrt[3]{x}$在x=0处
A 连续但不可导
B 不连续但可导
C 既连续又可导
题目解答
答案
**答案：A 连续但不可导**
**解析：**
1. **连续性：**
当 $ x \to 0^- $ 时，$\sqrt[3]{x} \to 0$；当 $ x \to 0^+ $ 时，$\sqrt[3]{x} \to 0$。且 $ f(0) = 0 $，故左、右极限等于函数值，函数在 $ x = 0 $ 处连续。
2. **可导性：**
导数 $ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{h}}{h} = \lim_{h \to 0} h^{-\frac{2}{3}} $，该极限趋于无穷大，导数不存在，故函数在 $ x = 0 $ 处不可导。
**答案：A**
解析
考查要点：本题主要考查函数在某一点的连续性和可导性的判断。
解题核心思路：
- 连续性：验证函数在$x=0$处是否存在定义，左、右极限是否等于函数值。
- 可导性：通过导数定义计算极限，判断是否存在有限的导数值。
破题关键点：
- 连续性：三次根函数在$x=0$处有定义，且左右极限均为$0$，与函数值一致。
- 可导性：导数定义中的极限形式为$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{h}}{h}$，化简后发现极限趋于无穷大，说明不可导。
连续性分析
- 函数在$x=0$处有定义：$f(0) = \sqrt[3]{0} = 0$。
- 左极限：当$x \to 0^-$时，$\sqrt[3]{x} \to 0$（负数的三次根仍为负数，绝对值趋近于$0$）。
- 右极限：当$x \to 0^+$时，$\sqrt[3]{x} \to 0$（正数的三次根趋近于$0$）。
- 结论：左、右极限均等于$f(0)$，故函数在$x=0$处连续。
可导性分析
- 导数定义：
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{h} - \sqrt[3]{0}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{h}}{h}.$ - 化简表达式：
$\frac{\sqrt[3]{h}}{h} = h^{\frac{1}{3}} \cdot h^{-1} = h^{-\frac{2}{3}}.$ - 计算极限：
当$h \to 0$时，$h^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{h^{\frac{2}{3}}}$，无论$h$从正方向还是负方向趋近于$0$，分母$h^{\frac{2}{3}}$均趋近于$0^+$，导致整体极限趋于$+\infty$。 - 结论：极限不存在，故函数在$x=0$处不可导。