题目
int_(1)^e^2 ((rm dx)/(xsqrt(1+ln x)) )
$\int_{1}^{e^2} {\frac{\rm dx}{x\sqrt{1+\ln x}} }$
题目解答
答案
原式$=\int_{1}^{e^2} {\frac{1}{\sqrt{1+\ln x}} }\,{\rm dx}$
$=2\sqrt{1+\ln x}\Big|_1^{e^2}$
$=2\sqrt{1+\ln e^2}-2\sqrt{1+\ln 1}$
$=2\sqrt{3}-2$
解析
步骤 1：换元
令 $u = 1 + \ln x$，则 $du = \frac{1}{x} dx$。
步骤 2：积分
原式 $=\int_{1}^{e^2} {\frac{1}{\sqrt{1+\ln x}} }\,{\rm dx}$
$=\int_{1}^{e^2} {\frac{1}{\sqrt{u}} }\,{\rm du}$
$=2\sqrt{u}\Big|_1^{e^2}$
步骤 3：代回原变量
$=2\sqrt{1+\ln x}\Big|_1^{e^2}$
$=2\sqrt{1+\ln e^2}-2\sqrt{1+\ln 1}$
$=2\sqrt{3}-2$
令 $u = 1 + \ln x$，则 $du = \frac{1}{x} dx$。
步骤 2：积分
原式 $=\int_{1}^{e^2} {\frac{1}{\sqrt{1+\ln x}} }\,{\rm dx}$
$=\int_{1}^{e^2} {\frac{1}{\sqrt{u}} }\,{\rm du}$
$=2\sqrt{u}\Big|_1^{e^2}$
步骤 3：代回原变量
$=2\sqrt{1+\ln x}\Big|_1^{e^2}$
$=2\sqrt{1+\ln e^2}-2\sqrt{1+\ln 1}$
$=2\sqrt{3}-2$