设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0＜p＜1)，且中途下车与否相互独立．以Y表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；(2)二维随机变量(X，Y)的概率分布．

考查要点：本题综合考查条件概率、泊松分布和二项分布的结合应用，重点在于理解随机变量间的依赖关系。

解题核心思路：

1. 第（1）题：在已知乘客数$X=n$的条件下，中途下车人数$Y$服从二项分布，因为每位乘客下车是独立事件，且概率固定。
2. 第（2）题：利用条件概率公式，将$X$和$Y$的联合概率分解为$P(X=n)$与$P(Y=m|X=n)$的乘积，其中$X$服从泊松分布，$Y$在给定$X=n$时服从二项分布。

破题关键点：

• 明确$Y$在$X=n$条件下的分布类型（二项分布）。
• 正确应用条件概率公式推导联合分布。

第（1）题

分析条件概率类型

在$X=n$的条件下，每位乘客下车是独立事件，概率为$p$，因此$Y$服从参数为$n$和$p$的二项分布。

写出概率表达式

根据二项分布的概率公式：
$P\{Y=m|X=n\} = \binom{n}{m} p^m (1-p)^{n-m}, \quad 0 \leq m \leq n, \ n=0,1,2,\ldots$

第（2）题

应用条件概率公式

联合概率可分解为：
$P\{X=n, Y=m\} = P\{X=n\} \cdot P\{Y=m|X=n\}$

代入已知分布

• $X$服从泊松分布：$P\{X=n\} = \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$
• $Y$在$X=n$条件下的概率：$P\{Y=m|X=n\} = \binom{n}{m} p^m (1-p)^{n-m}$

综合表达式

联合概率为：
$P\{X=n, Y=m\} = \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} \cdot \binom{n}{m} p^m (1-p)^{n-m}, \quad 0 \leq m \leq n, \ n=0,1,2,\ldots$