13. int dfrac (-{x)^2-2}({({x)^2+x+1)}^2}dx

考查要点：本题主要考查分式函数的不定积分计算，涉及分部积分法、代换法以及分式分解技巧。
解题思路：

1. 分式拆分：将被积函数拆分为两个更简单的分式之和，便于分别处理。
2. 导数关联：利用分母的导数简化积分，例如将分子与分母的导数相关联，构造分部积分形式。
3. 变量代换：通过配方法将二次多项式转化为标准形式（如 $u^2 + a^2$），应用已知积分公式。
4. 组合结果：将各部分积分结果合并，化简得到最终答案。

原积分：
$\int \frac{-x^2 - 2}{(x^2 + x + 1)^2} \, dx$

步骤1：分式拆分

将被积函数拆分为两部分：
$\frac{-x^2 - 2}{(x^2 + x + 1)^2} = -\frac{1}{x^2 + x + 1} + \frac{x - 1}{(x^2 + x + 1)^2}$

步骤2：处理第一部分积分

$-\int \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx$
通过配方法，令 $u = x + \frac{1}{2}$，则 $x^2 + x + 1 = u^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2$，积分转化为：
$-\int \frac{1}{u^2 + a^2} \, du \quad \text{（其中 $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$）}$
结果为：
$-\frac{1}{a} \arctan \frac{u}{a} + C_1 = -\frac{4}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} + C_1$

步骤3：处理第二部分积分

$\int \frac{x - 1}{(x^2 + x + 1)^2} \, dx$
利用分母的导数 $d(x^2 + x + 1) = (2x + 1) \, dx$，将分子调整为：
$x - 1 = \frac{1}{2}(2x + 1) - \frac{3}{2}$
积分拆分为：
$\frac{1}{2} \int \frac{d(x^2 + x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2} - \frac{3}{2} \int \frac{1}{(x^2 + x + 1)^2} \, dx$
第一项直接积分得：
$-\frac{1}{2(x^2 + x + 1)}$
第二项通过代换 $u = x + \frac{1}{2}$，转化为：
$\int \frac{1}{(u^2 + a^2)^2} \, du = \frac{u}{2a^2(u^2 + a^2)} + \frac{1}{2a^2} \cdot \frac{1}{a} \arctan \frac{u}{a}$
代入后化简，最终得到：
$-\frac{3}{4a^2} \cdot \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} - \frac{3}{4a^3} \arctan \frac{2x + 1}{\sqrt{3}}$

步骤4：合并所有结果

将各部分结果合并并化简，最终得到：
$-\frac{x + 1}{x^2 + x + 1} - \frac{4}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} + C$