从斜边长为的一切直角三角形中,求具有最大周长的直角三角形(要求用拉格朗日乘数法求解分).

步骤 1：定义变量和目标函数
设直角三角形的两条直角边分别为 \(x\) 和 \(y\)，斜边为 \(c\)。根据题意，斜边的长度为定值 \(c\)，即 \(x^2 + y^2 = c^2\)。目标是求出具有最大周长的直角三角形，周长 \(L = x + y + c\)。

步骤 2：引入拉格朗日乘数
为了求解这个问题，我们引入拉格朗日乘数 \(\lambda\)，构造拉格朗日函数 \(L(x, y, \lambda) = x + y + c + \lambda (x^2 + y^2 - c^2)\)。

步骤 3：求解拉格朗日方程组
对拉格朗日函数 \(L(x, y, \lambda)\) 分别对 \(x\)、\(y\) 和 \(\lambda\) 求偏导数，并令其等于零，得到方程组：
\[
\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x} = 1 + 2\lambda x = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial y} = 1 + 2\lambda y = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - c^2 = 0
\end{cases}
\]

步骤 4：解方程组
从方程组的第一和第二个方程中，可以解出 \(\lambda = -\frac{1}{2x} = -\frac{1}{2y}\)，从而得到 \(x = y\)。将 \(x = y\) 代入第三个方程 \(x^2 + y^2 = c^2\)，得到 \(2x^2 = c^2\)，从而 \(x = y = \frac{c}{\sqrt{2}}\)。

步骤 5：计算最大周长
将 \(x = y = \frac{c}{\sqrt{2}}\) 代入周长公式 \(L = x + y + c\)，得到最大周长为 \(L = \frac{c}{\sqrt{2}} + \frac{c}{\sqrt{2}} + c = (1 + \sqrt{2})c\)。