题目
设A为m×n矩阵,则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是( )A. 的列向量线性无关.B. A的列向量线性相关.C. A的行向量线性无关.D. A的行向量线性相关.
设A为m×n矩阵,则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是( )
A. 的列向量线性无关.
B. A的列向量线性相关.
C. A的行向量线性无关.
D. A的行向量线性相关.
题目解答
答案
A. 的列向量线性无关.
解析
步骤 1：理解齐次线性方程组的解
齐次线性方程组AX=0的解集是所有满足AX=0的向量X的集合。如果AX=0仅有零解，那么除了零向量外，没有其他向量满足AX=0。
步骤 2：分析矩阵A的列向量
矩阵A的列向量线性无关意味着A的列向量不能通过线性组合得到零向量。如果A的列向量线性无关，那么AX=0仅有零解，因为如果存在非零解X，那么AX=0意味着A的列向量可以通过X的系数线性组合得到零向量，这与A的列向量线性无关矛盾。
步骤 3：分析矩阵A的行向量
矩阵A的行向量线性无关意味着A的行向量不能通过线性组合得到零向量。然而，行向量线性无关并不能保证AX=0仅有零解。例如，如果A是一个m×n矩阵，且m
齐次线性方程组AX=0的解集是所有满足AX=0的向量X的集合。如果AX=0仅有零解，那么除了零向量外，没有其他向量满足AX=0。
步骤 2：分析矩阵A的列向量
矩阵A的列向量线性无关意味着A的列向量不能通过线性组合得到零向量。如果A的列向量线性无关，那么AX=0仅有零解，因为如果存在非零解X，那么AX=0意味着A的列向量可以通过X的系数线性组合得到零向量，这与A的列向量线性无关矛盾。
步骤 3：分析矩阵A的行向量
矩阵A的行向量线性无关意味着A的行向量不能通过线性组合得到零向量。然而，行向量线性无关并不能保证AX=0仅有零解。例如，如果A是一个m×n矩阵，且m