题目
定积分(int )_(0)^4dfrac (dx)(1+sqrt {x)}的值是（ ）(int )_(0)^4dfrac (dx)(1+sqrt {x)}(int )_(0)^4dfrac (dx)(1+sqrt {x)}(int )_(0)^4dfrac (dx)(1+sqrt {x)}(int )_(0)^4dfrac (dx)(1+sqrt {x)}
定积分
的值是（ ）
题目解答
答案
首先根据题干可得：定积分，可以先令
，所以原积分可化为：
，所以本题选
解析
步骤 1：换元法
令$\sqrt{x}=t$，则$x=t^2$，$dx=2tdt$。当$x=0$时，$t=0$；当$x=4$时，$t=2$。因此，原积分可化为：
${\int }_{0}^{4}\dfrac {dx}{1+\sqrt {x}}={\int }_{0}^{2}\dfrac {2tdt}{1+t}$
步骤 2：分部积分
将${\int }_{0}^{2}\dfrac {2tdt}{1+t}$化简为：
$2{\int }_{0}^{2}\dfrac {1+t-1}{1+t}dt=2{\int }_{0}^{2}dt-2{\int }_{0}^{2}\dfrac {1}{1+t}dt$
步骤 3：计算积分
计算两个积分：
$2{\int }_{0}^{2}dt=2t|_{0}^{2}=4$
$-2{\int }_{0}^{2}\dfrac {1}{1+t}dt=-2\ln|1+t||_{0}^{2}=-2\ln3$
因此，原积分的值为$4-2\ln3$。
令$\sqrt{x}=t$，则$x=t^2$，$dx=2tdt$。当$x=0$时，$t=0$；当$x=4$时，$t=2$。因此，原积分可化为：
${\int }_{0}^{4}\dfrac {dx}{1+\sqrt {x}}={\int }_{0}^{2}\dfrac {2tdt}{1+t}$
步骤 2：分部积分
将${\int }_{0}^{2}\dfrac {2tdt}{1+t}$化简为：
$2{\int }_{0}^{2}\dfrac {1+t-1}{1+t}dt=2{\int }_{0}^{2}dt-2{\int }_{0}^{2}\dfrac {1}{1+t}dt$
步骤 3：计算积分
计算两个积分：
$2{\int }_{0}^{2}dt=2t|_{0}^{2}=4$
$-2{\int }_{0}^{2}\dfrac {1}{1+t}dt=-2\ln|1+t||_{0}^{2}=-2\ln3$
因此，原积分的值为$4-2\ln3$。