题目

提取公因式(5) 2(x-3)(x-1)-(x-3)^2;(6) x^3-x^2-x+1;(7) a(x-y)+b(y-x);(8) y(2x-y)^2-2x(y-2x)^2.

提取公因式 (5) $2(x-3)(x-1)-(x-3)^2$; (6) $x^3-x^2-x+1$; (7) $a(x-y)+b(y-x)$; (8) $y(2x-y)^2-2x(y-2x)^2$.

题目解答

答案

我们来逐题分析并提取公因式。 --- ### **(5) $2(x-3)(x-1)-(x-3)^2$** **步骤1：观察两个项的共同因式** 两个项分别是： - $2(x-3)(x-1)$ - $-(x-3)^2$ 可以看出，两个项都含有因式 $(x-3)$。 **步骤2：提取公因式 $(x-3)$** $$ 2(x-3)(x-1) - (x-3)^2 = (x-3)\left[2(x-1) - (x-3)\right] $$ **步骤3：化简括号内的表达式** $$ 2(x-1) - (x-3) = 2x - 2 - x + 3 = x + 1 $$ **最终结果：** $$ \boxed{(x-3)(x+1)} $$ --- ### **(6) $x^3 - x^2 - x + 1$** **步骤1：分组** 我们尝试分组提取公因式： $$ x^3 - x^2 - x + 1 = (x^3 - x^2) - (x - 1) $$ **步骤2：分别提取公因式** $$ = x^2(x - 1) - 1(x - 1) $$ **步骤3：提取公共因式 $(x - 1)$** $$ = (x - 1)(x^2 - 1) $$ **步骤4：继续分解 $x^2 - 1$（平方差公式）** $$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $$ **最终结果：** $$ \boxed{(x - 1)^2(x + 1)} $$ --- ### **(7) $a(x - y) + b(y - x)$** **步骤1：观察表达式** 注意到 $y - x = -(x - y)$，所以可以将第二项改写为： $$ a(x - y) + b(y - x) = a(x - y) - b(x - y) $$ **步骤2：提取公因式 $(x - y)$** $$ = (x - y)(a - b) $$ **最终结果：** $$ \boxed{(x - y)(a - b)} $$ --- ### **(8) $y(2x - y)^2 - 2x(y - 2x)^2$** **步骤1：观察表达式** 注意到 $(y - 2x)^2 = (2x - y)^2$，因为平方去掉负号。所以我们可以将表达式写成： $$ y(2x - y)^2 - 2x(2x - y)^2 $$ **步骤2：提取公因式 $(2x - y)^2$** $$ = (2x - y)^2(y - 2x) $$ **步骤3：整理符号** $$ y - 2x = -(2x - y) $$ 所以整个表达式为： $$ (2x - y)^2 \cdot (-(2x - y)) = - (2x - y)^3 $$ **最终结果：** $$ \boxed{-(2x - y)^3} $$ --- ### **总结答案：** (5) $\boxed{(x-3)(x+1)}$ (6) $\boxed{(x - 1)^2(x + 1)}$ (7) $\boxed{(x - y)(a - b)}$ (8) $\boxed{-(2x - y)^3}$

解析

考查要点：
本题主要考查因式分解中的提取公因式法、分组分解法以及公式法的应用，同时涉及代数式的变形技巧，如符号处理、平方差分解等。

解题核心思路：

识别公因式：观察各多项式项的公共因子，包括代数式和符号；
变形统一形式：将不同形式的因式转化为相同形式（如 $(y-x)=-(x-y)$）；
分组分解：对多项式进行合理分组，逐步提取公因式；
二次分解：分解后若仍有可分解的因子（如平方差），需继续分解至最简。

第（5）题 $2(x-3)(x-1)-(x-3)^2$

观察公因式

两项均含公因式 $(x-3)$。

提取公因式

$2(x-3)(x-1) - (x-3)^2 = (x-3)\left[2(x-1) - (x-3)\right]$

化简括号内表达式

$2(x-1) - (x-3) = 2x - 2 - x + 3 = x + 1$

最终结果：
$\boxed{(x-3)(x+1)}$

第（6）题 $x^3 - x^2 - x + 1$

分组提取公因式

将前两项和后两项分组：
$x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x - 1) - 1(x - 1)$

提取公共因式 $(x-1)$

$= (x - 1)(x^2 - 1)$

继续分解平方差

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

最终结果：
$\boxed{(x - 1)^2(x + 1)}$

第（7）题 $a(x - y) + b(y - x)$

统一因式形式

注意到 $y - x = -(x - y)$，变形得：
$a(x - y) + b(y - x) = a(x - y) - b(x - y)$

提取公因式 $(x - y)$

$= (x - y)(a - b)$

最终结果：
$\boxed{(x - y)(a - b)}$

第（8）题 $y(2x - y)^2 - 2x(y - 2x)^2$

统一平方项形式

因 $(y - 2x)^2 = (2x - y)^2$，原式可写为：
$y(2x - y)^2 - 2x(2x - y)^2$

提取公因式 $(2x - y)^2$

$= (2x - y)^2(y - 2x)$

整理符号

$y - 2x = -(2x - y)$

最终结果：
$\boxed{-(2x - y)^3}$