题目
设 L 为 y=1-|1-x| 由 O(0,0) 到 B(2,0) 的折线段，则 int_(L) (x^2 + y^2), dx + (x^2 - y^2), dy = ( ).A. (5)/(3)B. (2)/(3)C. (4)/(3)D. 1
设 $L$ 为 $y=1-|1-x|$ 由 $O(0,0)$ 到 $B(2,0)$ 的折线段，则 $\int_{L} (x^2 + y^2)\, dx + (x^2 - y^2)\, dy = (\quad)$.
A. $\frac{5}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{4}{3}$
D. 1
题目解答
答案
C. $\frac{4}{3}$
解析
步骤 1：将曲线 $L$ 分为两段
曲线 $L$ 可以分为两段：$L_1$ 和 $L_2$。$L_1$ 是从 $O(0,0)$ 到 $A(1,1)$，$L_2$ 是从 $A(1,1)$ 到 $B(2,0)$。$L_1$ 的方程为 $y = x$，$L_2$ 的方程为 $y = 2 - x$。
步骤 2：计算 $L_1$ 上的积分
在 $L_1$ 上，$y = x$，$dy = dx$，所以积分变为 \[ \int_{L_1} (x^2 + y^2)\, dx + (x^2 - y^2)\, dy = \int_{0}^{1} (x^2 + x^2)\, dx + (x^2 - x^2)\, dx = \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}. \]
步骤 3：计算 $L_2$ 上的积分
在 $L_2$ 上，$y = 2 - x$，$dy = -dx$，所以积分变为 \[ \int_{L_2} (x^2 + y^2)\, dx + (x^2 - y^2)\, dy = \int_{1}^{2} [x^2 + (2-x)^2]\, dx + [x^2 - (2-x)^2]\, (-dx) = \int_{1}^{2} (2x^2 - 8x + 8) \, dx = \frac{2}{3}. \]
步骤 4：计算总积分
总积分是 $L_1$ 和 $L_2$ 上积分的和，即 \[ \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. \]
曲线 $L$ 可以分为两段：$L_1$ 和 $L_2$。$L_1$ 是从 $O(0,0)$ 到 $A(1,1)$，$L_2$ 是从 $A(1,1)$ 到 $B(2,0)$。$L_1$ 的方程为 $y = x$，$L_2$ 的方程为 $y = 2 - x$。
步骤 2：计算 $L_1$ 上的积分
在 $L_1$ 上，$y = x$，$dy = dx$，所以积分变为 \[ \int_{L_1} (x^2 + y^2)\, dx + (x^2 - y^2)\, dy = \int_{0}^{1} (x^2 + x^2)\, dx + (x^2 - x^2)\, dx = \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}. \]
步骤 3：计算 $L_2$ 上的积分
在 $L_2$ 上，$y = 2 - x$，$dy = -dx$，所以积分变为 \[ \int_{L_2} (x^2 + y^2)\, dx + (x^2 - y^2)\, dy = \int_{1}^{2} [x^2 + (2-x)^2]\, dx + [x^2 - (2-x)^2]\, (-dx) = \int_{1}^{2} (2x^2 - 8x + 8) \, dx = \frac{2}{3}. \]
步骤 4：计算总积分
总积分是 $L_1$ 和 $L_2$ 上积分的和，即 \[ \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. \]