题目

2.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=}x, & 0le xle 1,0le yle 3x,0, & 其他,求E(X^2+Y^2).

2.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 $f(x,y)=\begin{cases}x, & 0\le x\le 1,0\le y\le 3x,\\0, & 其他,\end{cases}$ 求$E(X^{2}+Y^{2})$.

题目解答

答案

为了求解 $E(X^2 + Y^2)$，我们首先需要计算 $E(X^2)$ 和 $E(Y^2)$。根据期望的定义，对于连续随机变量，期望可以表示为积分形式。具体地，对于函数 $g(X, Y)$，其期望 $E(g(X, Y))$ 为： \[ E(g(X, Y)) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x, y) f(x, y) \, dy \, dx \] 在本题中，$g(X, Y) = X^2 + Y^2$，联合概率密度 $f(x, y)$ 为： \[ f(x, y) = \begin{cases} x, & 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 3x, \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \] 因此，我们有： \[ E(X^2 + Y^2) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{3x} (x^2 + y^2) x \, dy \, dx \] 我们可以将这个积分拆分为两个部分： \[ E(X^2 + Y^2) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{3x} x^3 \, dy \, dx + \int_{0}^{1} \int_{0}^{3x} x y^2 \, dy \, dx \] 首先计算第一个部分： \[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{3x} x^3 \, dy \, dx = \int_{0}^{1} x^3 \left( \int_{0}^{3x} 1 \, dy \right) \, dx = \int_{0}^{1} x^3 \cdot 3x \, dx = \int_{0}^{1} 3x^4 \, dx = 3 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \] 接下来计算第二个部分： \[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{3x} x y^2 \, dy \, dx = \int_{0}^{1} x \left( \int_{0}^{3x} y^2 \, dy \right) \, dx = \int_{0}^{1} x \cdot \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3x} \, dx = \int_{0}^{1} x \cdot \frac{(3x)^3}{3} \, dx = \int_{0}^{1} x \cdot \frac{27x^3}{3} \, dx = \int_{0}^{1} 9x^4 \, dx = 9 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = 9 \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{5} \] 将两个部分的结果相加，得到： \[ E(X^2 + Y^2) = \frac{3}{5} + \frac{9}{5} = \frac{12}{5} \] 因此，最终答案是： \[ \boxed{\frac{12}{5}} \]

解析

本题考察二维随机变量函数的期望计算，核心是利用期望的定义，通过二重积分求解$E(X^2 + Y^2)$。具体步骤如下：

步骤1：期望的定义转化

对于二维连续随机变量$(X,Y)$，函数$g(X,Y)$的期望为：
$E[g(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} g(x,y)f(x,y)dxdy$
本题中$g(X,Y)=X^2+Y^2$，联合概率密度$f(x,y)$仅在$0\le x\le1$、$0\le y\le3x$非零，故积分区域简化为该区域，积分式为：
$E(X^2+Y^2) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{3x} (x^2+y^2)x dydx$

步骤2：拆分积分

将积分拆为两部分分别计算：
$E(X^2+Y^2) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{3x} x^3 dydx + \int_{0}^{1}\int_{0}^{3x} xy^2 dydx$

步骤3：计算第一个积分（$E(X^2)$相关）

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{3x} x^3 dydx = \int_{0}^{1} x^3 \left(\int_{0}^{3x} dy\right)dx$
内层积分$\int_{0}^{3x} dy = 3x$，故：
$\int_{0}^{1} x^3 \cdot 3x dx = 3\int_{0}^{1} x^4 dx = 3\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{3}{5}$

步骤4：计算第二个积分（$E(Y^2)$相关）

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{3x} xy^2 dydx = \int_{0}^{1} x \left(\int_{0}^{3x} y^2 dy\right)dx$
内层积分$\int_{0}^{3x} y^2 dy = \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^{3x} = \frac{(3x)^3}{3} = 9x^3$，故：
$\int_{0}^{1} x \cdot 9x^3 dx = 9\int_{0}^{1} x^4 dx = 9\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{9}{5}$

步骤5：求和得结果

$E(X^2+Y^2) = \frac{3}{5} + \frac{9}{5} = \frac{12}{5}$