15.（本题满分8分）求极限lim_(xtoinfty)x^2(arctanx^2-(pi)/(2)).
题目解答
答案
令 $ y = x^2 $，则当 $ x \to \infty $ 时，$ y \to \infty $。原极限可化为：
$\lim_{y \to \infty} y \left( \arctan y - \frac{\pi}{2} \right)$
利用恒等式 $ \arctan y = \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{y} $（当 $ y > 0 $），代入得：
$\lim_{y \to \infty} y \left( \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{y} - \frac{\pi}{2} \right) = \lim_{y \to \infty} -y \arctan \frac{1}{y}$
令 $ u = \frac{1}{y} $，则当 $ y \to \infty $ 时，$ u \to 0^+ $，极限变为：
$\lim_{u \to 0^+} -\frac{\arctan u}{u}$
由基本极限 $ \lim_{u \to 0} \frac{\arctan u}{u} = 1 $，得：
$\lim_{u \to 0^+} -\frac{\arctan u}{u} = -1$
答案： $\boxed{-1}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理∞·0型不定式的能力，需要灵活运用变量替换、反正切函数的恒等变形以及等价无穷小替换等技巧。
解题核心思路：
- 变量替换：令$y = x^2$，将原极限转化为关于$y$的表达式，简化问题。
- 恒等变形：利用$\arctan y = \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{y}$（$y > 0$），将原式转化为更易处理的形式。
- 等价无穷小：通过再次变量替换$u = \frac{1}{y}$，将极限转化为基本形式$\lim_{u \to 0} \frac{\arctan u}{u} = 1$，从而快速得出结果。
破题关键点：
- 识别出$\arctan y$的渐进行为，即当$y \to \infty$时，$\arctan y \to \frac{\pi}{2}$。
- 灵活应用反正切函数的恒等式，将原式中的$\arctan y$转化为与$\frac{1}{y}$相关的表达式，从而简化极限形式。
步骤1：变量替换
令$y = x^2$，则当$x \to \infty$时，$y \to \infty$。原极限变为：
$\lim_{y \to \infty} y \left( \arctan y - \frac{\pi}{2} \right)$
步骤2：恒等变形
利用恒等式$\arctan y = \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{y}$（$y > 0$），代入得：
$\lim_{y \to \infty} y \left( \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{y} - \frac{\pi}{2} \right) = \lim_{y \to \infty} -y \arctan \frac{1}{y}$
步骤3：再次变量替换
令$u = \frac{1}{y}$，则当$y \to \infty$时，$u \to 0^+$，极限变为：
$\lim_{u \to 0^+} -\frac{\arctan u}{u}$
步骤4：应用基本极限
根据等价无穷小$\lim_{u \to 0} \frac{\arctan u}{u} = 1$，得：
$\lim_{u \to 0^+} -\frac{\arctan u}{u} = -1$