(1988数三)在曲线y=x^2(xgeq0)上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形的面积为(1)/(12)，试求(1)切点A的坐标；(2)过切点A的切线方程；(3)由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.
题目解答
答案
(1) 设切点 $A(x_0, x_0^2)$，切线斜率 $k = 2x_0$，方程为 $y = 2x_0x - x_0^2$。与 $x$ 轴交点 $\left(\frac{x_0}{2}, 0\right)$。
由面积公式 $\frac{x_0^3}{12} = \frac{1}{12}$，解得 $x_0 = 1$。
切点 $A(1, 1)$。
(2) 切线方程：$y = 2x - 1$。
(3) 旋转体体积：
$V = \pi \int_0^1 x^4 \, dx - \pi \int_{\frac{1}{2}}^1 (2x - 1)^2 \, dx = \frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{30}$
体积 $\frac{\pi}{30}$。
$\boxed{\begin{array}{ccc}\text{(1) } (1, 1) \\\text{(2) } y = 2x - 1 \\\text{(3) } \frac{\pi}{30}\end{array}}$
解析
本题主要考查导数的几何意义、定积分的几何应用（求平面图形的面积和旋转体的体积）。解题的关键在于先求出曲线在切点处的切线方程，再根据定积分计算所围图形的面积，进而确定切点坐标，最后利用定积分求旋转体体积。
（1）求切点$A$的坐标
设切点$A(x_0, x_0^2)$，对$y = x^2$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$y^\prime = 2x$。
那么曲线在点$A$处的切线斜率$k = y^\prime|_{x = x_0} = 2x_0$。
由点斜式方程$y - y_1 = k(x - x_1)$（其中$(x_1,y_1)$为直线上一点，$k$为直线斜率），可得切线方程为$y - x_0^2 = 2x_0(x - x_0)$，化简得$y = 2x_0x - x_0^2$。
令$y = 0$，可得切线与$x$轴的交点横坐标，即$0 = 2x_0x - x_0^2$，解方程$2x_0x - x_0^2 = 0$，提取公因式$x_0$得$x_0(2x - x_0) = 0$，解得$x = 0$或$x = \frac{x_0}{2}$，所以切线与$x$轴交点为$(\frac{x_0}{2}, 0)$。
所围图形的面积$S$等于曲线$y = x^2$与$x$轴从$0$到$x_0$所围面积减去切线与$x$轴从$\frac{x_0}{2}$到$x_0$所围三角形的面积。
曲线$y = x^2$与$x$轴从$0$到$x_0$所围面积为$\int_{0}^{x_0} x^2 dx$，根据定积分公式$\int x^n dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C$（$n\neq -1$），可得$\int_{0}^{x_0} x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_0^{x_0} = \frac{1}{3}x_0^3$。
切线与$x$轴从$\frac{x_0}{2}$到$x_0$所围三角形的底为$x_0 - \frac{x_0}{2} = \frac{x_0}{2}$，高为$x_0^2$，所以其面积为$\frac{1}{2} \times \frac{x_0}{2} \times x_0^2 = \frac{1}{4}x_0^3$。
则所围图形的面积$S = \frac{1}{3}x_0^3 - \frac{1}{4}x_0^3 = \frac{4x_0^3 - 3x_0^3}{12} = \frac{x_0^3}{12}$。
已知$S = \frac{1}{12}$，即$\frac{x_0^3}{12} = \frac{1}{12}$，两边同时乘以$12$得$x_0^3 = 1$，解得$x_0 = 1$。
所以切点$A$的坐标为$(1, 1)$。
（2）求过切点$A$的切线方程
由（1）可知$x_0 = 1$，切线斜率$k = 2x_0 = 2\times1 = 2$。
根据点斜式方程$y - y_1 = k(x - x_1)$，其中$(x_1,y_1) = (1,1)$，$k = 2$，可得切线方程为$y - 1 = 2(x - 1)$，化简得$y = 2x - 1$。
（3）求所围平面图形绕$x$轴旋转一周所成旋转体的体积
旋转体的体积$V$等于曲线$y = x^2$绕$x$轴从$0$到$1$旋转所成体积减去切线$y = 2x - 1$绕$x$轴从$\frac{1}{2}$到$1$旋转所成体积。
曲线$y = x^2$绕$x$轴从$0$到$1$旋转所成体积为$V_1 = \pi \int_{0}^{1} (x^2)^2 dx = \pi \int_{0}^{1} x^4 dx$，根据定积分公式$\int x^n dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C$（$n\neq -1$），可得$\pi \int_{0}^{1} x^4 dx = \pi [\frac{1}{5}x^5]_0^{1} = \frac{\pi}{5}$。
切线$y = 2x - 1$绕$x$轴从$\frac{1}{2}$到$1$旋转所成体积为$V_2 = \pi \int_{\frac{1}{2}}^{1} (2x - 1)^2 dx$，令$u = 2x - 1$，则$du = 2dx$，当$x = \frac{1}{2}$时，$u = 2\times\frac{1}{2} - 1 = 0$；当$x = 1$时，$u = 2\times1 - 1 = 1$。
所以$\pi \int_{\frac{1}{2}}^{1} (2x - 1)^2 dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} u^2 du = \frac{\pi}{2} [\frac{1}{3}u^3]_0^{1} = \frac{\pi}{6}$。
则旋转体的体积$V = V_1 - V_2 = \frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - 5\pi}{30} = \frac{\pi}{30}$。