[题目]一均匀带电细棒弯成半径为R、圆心角为-|||-θ的扇形,总电量为Q,求圆心处的电场强度

考查要点：本题主要考查带电体电场的叠加计算，以及利用对称性简化积分过程的能力。

解题核心思路：

1. 对称性分析：扇形关于圆心角的角平分线对称，各电荷元在垂直角平分线方向的电场分量相互抵消，总电场沿角平分线方向。
2. 微元法与积分：将带电细棒分为无数小段，计算每个小段在圆心处的电场分量，再沿角平分线方向积分求和。

破题关键点：

• 线电荷密度：由总电量和弧长确定线密度。
• 微元电场分量：每个小段的电场沿角平分线方向的分量需用余弦投影。
• 积分范围：积分角度从 $-\theta/2$ 到 $\theta/2$，对应对称分布的扇形区域。

步骤1：确定线电荷密度

扇形弧长为 $L = R\theta$（$\theta$ 为弧度），线电荷密度为：
$\lambda = \frac{Q}{L} = \frac{Q}{R\theta}.$

步骤2：取微小电荷元

取角度 $x$ 处的微小弧长 $dl = R dx$，对应电荷为：
$dq = \lambda dl = \frac{Q}{R\theta} \cdot R dx = \frac{Q}{\theta} dx.$

步骤3：计算微元电场分量

每个微元在圆心处的电场大小为：
$dE = k \frac{dq}{R^2} = k \frac{Q}{\theta R^2} dx.$
沿角平分线方向的分量为：
$dE_x = dE \cos x = \frac{kQ}{\theta R^2} \cos x \, dx.$

步骤4：积分求总电场

对称性保证总电场沿角平分线方向，积分范围为 $x \in [-\theta/2, \theta/2]$：
$E = \int_{-\theta/2}^{\theta/2} dE_x = \frac{kQ}{\theta R^2} \int_{-\theta/2}^{\theta/2} \cos x \, dx.$
计算积分：
$\int_{-\theta/2}^{\theta/2} \cos x \, dx = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) - \sin\left(-\frac{\theta}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right).$
代入得总电场：
$E = \frac{2kQ}{\theta R^2} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right).$