[单选题]当x→0时,x-tanx与xk是同阶无穷小,则k=( ).A. 1B. 2C. 3D. 4

考查要点：本题主要考查无穷小量阶的比较，需要利用泰勒展开或等价无穷小替换，确定$x - \tan x$在$x \to 0$时的主部，进而与$x^k$比较阶数。

解题核心思路：

1. 展开$\tan x$的泰勒多项式，找到$x - \tan x$的主部；
2. 比较主部与$x^k$的阶数，确定$k$的值。

破题关键点：

• $\tan x$在$x=0$处的泰勒展开式为$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$；
• 通过展开式可得$x - \tan x$的主部为$-\frac{x^3}{3}$，因此当$k=3$时，两者同阶。

步骤1：展开$\tan x$的泰勒多项式
当$x \to 0$时，$\tan x$的泰勒展开式为：
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

步骤2：计算$x - \tan x$的主部
将展开式代入$x - \tan x$：
$x - \tan x = x - \left( x + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \right) = -\frac{x^3}{3} + o(x^3)$
因此，$x - \tan x$的主部为$-\frac{x^3}{3}$，即其阶数为$x^3$。

步骤3：比较阶数
若$x - \tan x$与$x^k$同阶，则需满足：
$\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x^k} = C \quad (C \neq 0)$
代入主部得：
$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{3}}{x^k} = \lim_{x \to 0} -\frac{1}{3} x^{3 - k}$
当且仅当$3 - k = 0$（即$k=3$）时，极限值为$-\frac{1}{3}$（非零常数），故$k=3$。