设 f ( x ) 在 [ -1 , 1 ] 上连续，计算=[1,|f(x)+f(-2)+z]·ln(√1+ +x)dx

考查要点：本题主要考查定积分的奇偶性性质以及分部积分法的应用。关键在于通过分析被积函数的奇偶性，简化积分计算。

解题思路：

1. 拆分被积函数：将被积函数拆分为两部分：$[f(x)+f(-x)] \cdot \ln(\sqrt{1+x^2}+x)$ 和 $x \cdot \ln(\sqrt{1+x^2}+x)$。
2. 奇偶性分析：
   • $[f(x)+f(-x)]$ 是偶函数，$\ln(\sqrt{1+x^2}+x)$ 是奇函数，偶函数乘奇函数结果为奇函数，其在对称区间积分结果为$0$。
   • $x$ 是奇函数，$\ln(\sqrt{1+x^2}+x)$ 是奇函数，奇函数乘奇函数结果为偶函数，积分可转化为两倍的非对称区间积分。
3. 分部积分：对剩余的积分部分使用分部积分法，并通过联立方程求解。

步骤1：利用奇偶性简化积分

1. 判断奇偶性：
   • $\ln(\sqrt{1+x^2}+x)$ 是奇函数，因为 $\ln(\sqrt{1+(-x)^2}+(-x)) = -\ln(\sqrt{1+x^2}+x)$。
   • $[f(x)+f(-x)]$ 是偶函数，$x$ 是奇函数。
2. 拆分积分：
   $\begin{aligned} \int_{-1}^{1} [f(x)+f(-x)+x] \cdot \ln(\sqrt{1+x^2}+x) dx &= \int_{-1}^{1} [f(x)+f(-x)] \cdot \ln(\sqrt{1+x^2}+x) dx + \int_{-1}^{1} x \cdot \ln(\sqrt{1+x^2}+x) dx \\ &= 0 + 2 \int_{0}^{1} x \cdot \ln(\sqrt{1+x^2}+x) dx. \end{aligned}$

步骤2：分部积分计算剩余部分

1. 变量替换：令 $t = x^2$，则 $dt = 2x dx$，积分变为：
   $2 \int_{0}^{1} x \cdot \ln(\sqrt{1+x^2}+x) dx = \int_{0}^{1} \ln(\sqrt{1+t}+\sqrt{t}) dt.$
2. 分部积分：令 $u = \ln(\sqrt{1+x^2}+x)$，$dv = x dx$，则：
   $\begin{aligned} \int x \cdot \ln(\sqrt{1+x^2}+x) dx &= \frac{x^2}{2} \ln(\sqrt{1+x^2}+x) - \int \frac{x^2}{2\sqrt{1+x^2}} dx. \end{aligned}$
3. 处理剩余积分：通过分部积分和代数联立，最终得到：
   $\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^2} dx = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln(\sqrt{2}+1).$

步骤3：联立求解

将各部分代入，最终结果为：
$\frac{3}{2} \ln(\sqrt{2}+1) - \frac{\sqrt{2}}{2}.$