锥面 z=sqrt(x^2+y^2) 被柱面 z^2=2x 所割下部分的曲面面积为（）。A. piB. 2piC. sqrt(2)piD. 2sqrt(2)pi

考查要点：本题主要考查曲面面积的计算，涉及曲面交线的确定、投影区域的分析以及曲面积分的应用。

解题核心思路：

1. 确定曲面交线：将锥面方程代入柱面方程，得到投影区域的边界。
2. 计算曲面面积元素：利用曲面方程求偏导，代入面积元素公式。
3. 投影区域积分：将曲面积分转化为投影区域上的二重积分，结合几何形状简化计算。

破题关键点：

• 代入消元：通过联立两个曲面方程，确定交线在平面上的投影区域。
• 面积元素化简：通过偏导数计算面积元素，发现其为常数，简化积分过程。
• 几何意义应用：投影区域为圆，直接利用圆的面积公式求解。

1. 确定投影区域

将锥面方程 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 代入柱面方程 $z^2 = 2x$，得：
$x^2 + y^2 = 2x \implies (x-1)^2 + y^2 = 1.$
这表明投影区域 $D$ 是以 $(1,0)$ 为圆心、半径为 $1$ 的圆。

2. 计算曲面面积元素

对锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$，计算偏导数：
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}.$
代入面积元素公式：
$dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dA = \sqrt{1 + \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2}} \, dA = \sqrt{2} \, dA.$

3. 计算曲面面积

曲面面积为：
$S = \iint_D dS = \sqrt{2} \iint_D dA.$
投影区域 $D$ 是半径为 $1$ 的圆，面积为 $\pi \cdot 1^2 = \pi$，因此：
$S = \sqrt{2} \cdot \pi.$